Группа Коксетера

Группа Коксетера — группа, порождённая отражениями в гранях $n$-мерного многогранника, у которого каждый двугранный угол составляет целую часть от $\pi$ (то есть равен $\pi /k$ для некоторого целого $k$). Такие многогранники называются многогранниками Коксетера. Группы Коксетера определяются для многогранников в евклидовом пространстве, на сфере, а также в пространстве Лобачевского.

Примеры

• Конечным группам Коксетера изоморфны, в частности, группы Вейля простых алгебр Ли.
• Многогранники Коксетера в евклидовом пространстве размерности $n$:
  • $n$-мерный куб произвольной размерности.
  • $n$-мерный симплекс, образованный точками с координатами $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ такими, что $0⩽x_1⩽x_2⩽\dots ⩽x_n⩽1$.
• Многогранники Коксетера в единичной сфере размерности $n$:
  • правильный $n$-мерный симплекс со стороной $\pi /2$.
• Многогранники Коксетера в пространствах Лобачевского:
  • Правильный $k$-многоугольник с углом $\pi /m$.
  • Правильный прямоугольный додекаэдр в размерности $3$.
  • Правильный прямоугольный стодвадцатиячейник в размерности $4$.

Свойства

• Группы Коксетера описываются и классифицируются с помощью диаграмм Коксетера — Дынкина.
• Многогранник Коксетера является фундаментальной областью действия группы Коксетера.
  • В частности, многогранник Коксетера замощает пространство.
  • В частности, любая евклидова группа Коксетера является примером точечной группы.
• Теорема Винберга. В пространствах Лобачевского всех достаточно больших размерностей ограниченных многогранников Коксетера не существует.
• Сферические многогранники Коксетера являются симплексами.
• Многогранники Коксетера являются простыми.
• Обозначим через $\{r_1,r_2,\dots ,r_n\}$ отражения в гранях многогранника, и пусть $\pi /m_{ij}$ есть двугранный угол между гранями $i$ и $j$. Положим $m_{ij}=\mathrm{\infty }$, если грани не образуют двугранного угла в многограннике, и $m_{ii}=1$. Тогда группу Коксетера можно задать следующим образом:

  $⟨r_1,r_2,\dots ,r_n\mid (r_i{r}_j{)}^{m_{ij}}=1⟩$

Вариации и обобщения

• Группами Коксетера также называется обобщение класса групп, описанного выше, определяемое с помощью задания:

  $⟨r_1,r_2,\dots ,r_n\mid (r_i{r}_j{)}^{m_{ij}}=1⟩$,

где $m_{ii}=1$ и $m_{ij}⩾2$ при $i\ne j$.

См. также

• Группа комплексных отражений
• Число Коксетера

Литература

• Шаблон:Статья Шаблон:Jstor