Группа Вейля

Группа Вейля — группа, порождённая отражениями в гиперплоскостях, ортогональных к корням корневой системы группы Ли, алгебры Ли или других алгебраических объектов.

Названа в честь Германа Вейля.

Связанные определения

Гиперплоскости, ортогональные корням корневой системы, режут Евклидово пространство на конечное число открытых областей, называемых камерами Вейля.
Для группы Ли $G$ , удовлетворяющей определенным условиям (например, для связной компактной группы), и произвольного тора $T < G$ (не обязательно максимального) можно определить группу Вейля как фактор нормализатора тора $N (T)$ по его централизатору $Z (T)$ ,
$W (T, G) = N (T) / Z (T) .$

Группа

W (T, G)

конечна, поскольку '

Z (T)

имеет конечный индекс в

N (T)

.

При этом, если $T = T_{0}$ — максимальный тор (и значит $Z (T_{0}) = T_{0}$ ), то полученная факторгруппа $W (T_{0}, G) = N (T_{0}) / Z (T_{0})$ называется группой Вейля $G$ , и обозначается $W (G)$ .

Хотя эта конструкция зависит от выбора максимального тора, все полученные таким образом группы изоморфны.
Если $G$ - компактная и связная группа Ли, то её группа Вейля изоморфна группе Вейля её алгебры Ли.

Группа Вейля действует перестановками на камерах Вейля, это действие свободное и транзитивное.
- В частности, число камер Вейля равно порядку группы Вейля.

Группы Вейля являются конечными группами Коксетера. Это позволяет им быть классифицированными диаграммами Кокстера — Дынкина.

Группа Вейля алгебры Ли ${𝔰 𝔩}_{n}$ является симметрической группой на n элементах, $S_{n}$ . Её действие можно описать следующим образом. Если $𝔥$ — подалгебра Картана всех диагональных матриц с нулевым следом, то $S_{n}$ действует на $𝔥$ перестановкой диагональных элементов перестановки матриц. Это действие индуцирует действие на двойственном пространстве $𝔥^{*}$ , которое собственно и является действием группы Вейля.

Для общей линейной группы GL максимальный тор образован подгруппой D обратимых диагональных матриц. Нормализатор подгруппы D является группой обобщенных матриц перестановок (матриц типа матриц перестановок, но с любыми ненулевыми числами, вместо единиц). Группа Вейля является симметрической группой. В этом случае отображение N → N/T расщепляется, поэтому нормализатор N является полупрямым произведением тора и группы Вейля и значит группа Вейля может быть идентифицирована с подгруппе G.
- В общем это не всегда так – частное не всегда расщепляется, нормализатор N не всегда полупрямое произведение и группа Вейля не всегда реализуется как подгруппа G.