Система корней

Шаблон:О Систе́ма корне́й (корнева́я систе́ма) в математике — конфигурация векторов в евклидовом пространстве, удовлетворяющая определённым геометрическим свойствам.

Эта концепция является фундаментальной в теории групп Ли и алгебр Ли. Диаграммы Коксетера — Дынкина, использующиеся при классификации систем корней, встречается в разделах математики, не связанных явно с группами Ли, например, в теории сингулярностей.

Определение

Пусть $V$ — конечномерное евклидово пространство с обычным скалярным произведением, обозначаемым $(\cdot ,\cdot )$. Система корней в $V$ — это конечное множество $\mathrm{\Phi }$ ненулевых векторов (называемых корнями), которые удовлетворяют следующим свойствам.

Целостное условие для $⟨\alpha ,\beta ⟩$ заставляет $\beta$ лежать на одной из вертикальных прямых. Комбинирование этого условия с целостным условием для $⟨\alpha ,\beta ⟩$ сводит возможные углы между $\alpha$ и $\beta$ не более чем к двум, для каждой из вертикальных прямых.

1. $V$ является линейной оболочкой системы корней.
2. Если два корня $\alpha \in \mathrm{\Phi }$, $\beta \in \mathrm{\Phi }$ являются коллинеарными векторами, то либо они совпадают, либо $\beta =-\alpha .$
3. Для каждого корня $\alpha \in \mathrm{\Phi }$ множество $\mathrm{\Phi }$ замкнуто относительно отражения в гиперплоскости, перпендикулярной $\alpha .$ То есть для любых двух корней $\alpha$ и $\beta$ множество $\mathrm{\Phi }$ содержит отражение $\beta$

   ${\sigma }_{\alpha }(\beta )=\beta -2\frac{(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}\alpha \in \mathrm{\Phi }.$

4. (Целостное условие). Если $\alpha$ и $\beta$ — корни в $\mathrm{\Phi },$ то проекция $\beta$ на прямую, проходящую через $\alpha ,$ есть полуцелое, кратное $\alpha .$ То есть

   $⟨\beta ,\alpha ⟩=2\frac{(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}\in \mathbb{Z}.$

Замечания

• С учётом свойства 3 целостное условие эквивалентно утверждению, что разность между $\beta$ и его отражением ${\sigma }_{\alpha }(\beta )$ равна корню $\alpha$, умноженному на некоторое целое число.
• Оператор

  $⟨\cdot ,\cdot ⟩:\mathrm{\Phi }\times \mathrm{\Phi }\to \mathbb{Z}$,

определённый свойством 4, не является внутренним произведением. Он, вообще говоря, не симметричен и линеен только по первому аргументу.

Размерность $V$ называют рангом системы корней.

Классификация систем корней по диаграммам Дынкина

Примеры систем корней ранга 1 и ранга 2

Существует только одна система корней ранга 1. Она состоит из двух ненулевых векторов $\{\alpha ,-\alpha \}.$ Эта система называется $A_1.$

В ранге 2 существуют четыре возможных варианта ${\sigma }_{\alpha }(\beta )=\beta +n\alpha ,$ где $n=0,1,2,3.$

Система корней ранга 2

Система корней $A_1\times A_1$	Система корней $A_2$
Система корней $B_2$	Система корней $G_2$

См. также

• E8 (математика)

Ссылки

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений / Перев. с англ. Б. Р. Френкина. — М.: МЦНМО, 2008. — 216 с.
• Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам — М.: УРСС, 1995. — 344 с.
• Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы / Пер. с англ./Под ред. В. П. Платонова. — М.: Наука, 1980. — 400 с.
• Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли (часть 2) / Пер. с франц./Под ред. А. И. Кострикина. — М.: Мир, 1972. — 332 с.