Пентакисдодекаэдр

Пентакисдодека́эдр (от Шаблон:Lang-grc — «пятижды», Шаблон:Lang-grc2 — «двенадцать» и Шаблон:Lang-grc2 — «грань») — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный усечённому икосаэдру. Составлен из 60 одинаковых остроугольных равнобедренных треугольников, в которых один из углов равен $\arccos \frac{9\sqrt{5}-7}{36}\approx 68,62^{\circ },$ а два других $\arccos \frac{9-\sqrt{5}}{12}\approx 55,69^{\circ }.$

Имеет 32 вершины; в 12 вершинах (расположенных так же, как вершины икосаэдра) сходятся своими бо́льшими углами по 5 граней, в 20 вершинах (расположенных так же, как вершины додекаэдра) сходятся меньшими углами по 6 граней.

У пентакисдодекаэдра 90 рёбер — 30 «длинных» (расположенных так же, как рёбра додекаэдра) и 60 «коротких». Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен $\arccos (-\frac{80+9\sqrt{5}}{109})\approx 156,72^{\circ }.$

Пентакисдодекаэдр можно получить из додекаэдра, приложив к каждой его грани правильную пятиугольную пирамиду с основанием, равным грани додекаэдра, и высотой, которая в $\sqrt{65-22\sqrt{5}}\approx 3,98$ раз меньше стороны основания. При этом полученный многогранник будет иметь по 5 граней вместо каждой из 12 граней исходного — с чем и связано его название.

Наземная станция системы спутниковой связи SPTR-2 в Антарктиде. Обтекатель антенны выполнен в виде пентакисдодекаэдра.

Иллюстрация Леонардо да Винчи к трактату Луки Пачоли «О божественной пропорции» (1509)

Метрические характеристики

Если «короткие» рёбра пентакисдодекаэдра имеют длину $a$, то его «длинные» рёбра имеют длину $\frac{1}{6}(9-\sqrt{5})a\approx 1,13a,$ а площадь поверхности и объём выражаются как

$S=\frac{5}{3}\sqrt{\frac{1}{2}(421+63\sqrt{5})}{a}^2\approx 27,9352496a^2,$

$V=\frac{5}{36}(41+25\sqrt{5})a^3\approx 13,4585694a^3.$

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах) при этом будет равен

$r=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{109}(477+194\sqrt{5})}a\approx 1,4453319a,$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

$\rho =\frac{11+3\sqrt{5}}{12}a\approx 1,4756837a.$

Описать около пентакисдодекаэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

Ссылки

• Шаблон:Mathworld