Гиперкубические соты

Правильная квадратная мозаика. Шаблон:CDD 1 color	Кубические соты в их регулярной форме. Шаблон:CDD 1 color
Шахматная квадратная мозаика Шаблон:CDD 2 цвета	Шахматные кубические соты. Шаблон:CDD 2 цвета
Растянутая квадратная мозаика Шаблон:CDD 3 цвета	Растянутые кубические соты Шаблон:CDD 4 цвета
Шаблон:CDD 4 цвета	Шаблон:CDD 8 цветов

Гиперкуби́ческие соты — семейство правильных сот (замощений) в пространстве размерности $n$ с символами Шлефли $4,3...3,4$, имеющих симметрию группы Коксетера $R_n$ (или $B_{n-1}^{}$) для $n\ge 3$.

Соты строятся из четырёх $n$-мерных гиперкубов на каждой $(n-2)$-мерной грани. Вершинной фигурой является гипероктаэдр $3...3,4$.

Гиперкубические соты являются самодвойственными.

Коксетер, Гарольд назвал это семейство ${\delta }_n+1$ (для $n$-мерных сот).

Классы построения Витхоффа по размерности

Имеется два основных вида гиперкубических сот, правильная форма с идентичными фасетами гиперкубов и полуправильная с чередующимися фасетами, наподобие шахматной доски.

Третья форма образуется путём операции растяжения, применённой к правильной форме. В результате растяжения создаются фасеты на месте всех элементов меньшей размерности. Например, растянутые кубические соты имеют кубические ячейки с центрами исходных кубов, на исходных фасетах, на исходных рёбрах и на исходных вершинах, создавая тем самым ячейки 4-х цветов вокруг каждой вершины с соотношением 1:3:3:1.

Прямоугольные соты — это семейство топологически эквивалентных кубическим сот, но имеющих меньшую степень симметрии. В этих сотах каждое из трёх направлений может иметь отличную от других длину. Фасеты являются гиперпрямоугольниками (на плоскости это прямоугольники, а в трёхмерном пространстве — прямоугольные параллелепипеды).

δn	Название	Символы Шлефли	Диаграммы Коксетера — Дынкина
			Прямоугольные {∞}n (2m цветов, m<n)	Правильные (Растянутые) {4,3n-1,4} (1 цвет, n цветов)	Шахматные {4,3n-4,31,1} (2 цвета)
δ2	Апейрогон	{∞}	Шаблон:CDD
δ3	Квадратная мозаика	{∞}2 {4,4}	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD Шаблон:CDD	Шаблон:CDD
δ4	Кубические соты	{∞}3 {4,3,4} {4,31,1}	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD Шаблон:CDD	Шаблон:CDD
δ5	Шаблон:Не переведено 5	{∞}4 {4,32,4} {4,3,31,1}	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD Шаблон:CDD	Шаблон:CDD
δ6	Шаблон:Не переведено 5	{∞}5 {4,33,4} {4,32,31,1}	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD Шаблон:CDD	Шаблон:CDD
δ7	Шаблон:Не переведено 5	{∞}6 {4,34,4} {4,33,31,1}	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD Шаблон:CDD	Шаблон:CDD
δ8	Шаблон:Не переведено 5	{∞}7 {4,35,4} {4,34,31,1}	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD Шаблон:CDD	Шаблон:CDD
δ9	Шаблон:Не переведено 5	{∞}8 {4,36,4} {4,35,31,1}	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD Шаблон:CDD	Шаблон:CDD
δn	Кубические n-мерные соты	{∞}n {4,3n-3,4} {4,3n-4,31,1}	...

См. также

• Шаблон:Не переведено 5
• Шаблон:Не переведено 5
• Шаблон:Не переведено 5
• Шаблон:Не переведено 5

Литература

• Шаблон:Книга
  1. стр. 122–123, 1973. (Решётка гиперкубов γ_n образует кубические соты δ_n+1)
  2. стр. 154–156: Частично усечённые или альтернированные, представленные префиксом h: h{4,4}={4,4}; h{4,3,4}={3^1,1,4}, h{4,3,3,4}={3,3,4,3}
  3. стр. 296, Таблица II: Правильные соты, δ_n+1