Тетракисгексаэдр

Тетракисгекса́эдр (от Шаблон:Lang-grc — «четырежды», Шаблон:Lang-grc2 — «шесть» и Шаблон:Lang-grc2 — «грань»), также называемый тетрагекса́эдром или преломлённым ку́бом, — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный усечённому октаэдру. Составлен из 24 одинаковых остроугольных равнобедренных треугольников, в которых один из углов равен $\arccos \frac{1}{9}\approx 83,62^{\circ },$ а два других $\arccos \frac{2}{3}\approx 48,19^{\circ }.$

Имеет 14 вершин; в 6 вершинах (расположенных так же, как вершины октаэдра) сходятся своими бо́льшими углами по 4 грани, в 8 вершинах (расположенных так же, как вершины куба) сходятся меньшими углами по 6 граней.

У тетракисгексаэдра 36 рёбер — 12 «длинных» (расположенных так же, как рёбра куба) и 24 «коротких». Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен $\arccos (-\frac{4}{5})\approx 143,13^{\circ }.$

Тетракисгексаэдр можно получить из куба, приложив к каждой его грани правильную четырёхугольную пирамиду с основанием, равным грани куба, и высотой, которая ровно в $4$ раза меньше стороны основания. При этом полученный многогранник будет иметь по 4 грани вместо каждой из 6 граней исходного — с чем и связано его название.

Тетракисгексаэдр — одно из трёх каталановых тел, в которых существует эйлеров путь.

Метрические характеристики

Если «короткие» рёбра тетракисгексаэдра имеют длину $a$, то его «длинные» рёбра имеют длину $\frac{4}{3}a\approx 1,33a,$ а площадь поверхности и объём выражаются как

$S=\frac{16\sqrt{5}}{3}{a}^2\approx 11,9256959a^2,$

$V=\frac{32}{9}{a}^3\approx 3,5555556a^3.$

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах) при этом будет равен

$r=\frac{2\sqrt{5}}{5}a\approx 0,8944272a,$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

$\rho =\frac{2\sqrt{2}}{3}a\approx 0,9428090a.$

Описать около тетракисгексаэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

В координатах

Тетракисгексаэдр можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы его вершины имели координаты $(\pm 2;\pm 2;\pm 2),$ $(\pm 3;0;0),$ $(0;\pm 3;0),$ $(0;0;\pm 3).$

Начало координат $(0;0;0)$ будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его вписанной и полувписанной сфер.

Ссылки

• Шаблон:Mathworld