Усечённый октаэдр

Шаблон:Многогранник

Усечённый окта́эдрШаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 14 гранями, составленный из 6 квадратов и 8 правильных шестиугольников.

В каждой из его 24 одинаковых вершин сходятся две шестиугольных грани и одна квадратная. Телесный угол при вершине равен в точности $π .$

Усечённый октаэдр имеет 36 рёбер равной длины. При 12 рёбрах (между двумя шестиугольными гранями) двугранные углы равны $\arccos (- \frac{1}{3}) \approx 109, 4 7^{\circ},$ как в октаэдре; при 24 рёбрах (между квадратной и шестиугольной гранями) $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{3}) \approx 125, 2 6^{\circ},$ как в кубооктаэдре.

Усечённый октаэдр можно получить из обычного октаэдра, «срезав» с того 6 квадратных пирамид, — либо как пересечение имеющих общий центр октаэдра и куба.

Иллюстрация Леонардо да Винчи для трактата Луки Пачоли «О божественной пропорции» (1509)

В координатах

Усечённый октаэдр с длиной ребра $\sqrt{2}$ можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными перестановками чисел $(0; \pm 1; \pm 2) .$

Начало координат $(0; 0; 0)$ будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.

Метрические характеристики

Если усечённый октаэдр имеет ребро длины $a$ , его площадь поверхности и объём выражаются как

S = 6 (1 + 2 \sqrt{3}) a^{2} \approx 26, 7846097 a^{2},

V = 8 \sqrt{2} a^{3} \approx 11, 3137085 a^{3} .

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

R = \frac{\sqrt{10}}{2} a \approx 1, 5811388 a;

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

ρ = \frac{3}{2} a = 1, 5 a .

Вписать в усечённый октаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри усечённого октаэдра с ребром $a$ (она будет касаться только всех шестиугольных граней в их центрах), равен

r_{6} = \frac{\sqrt{6}}{2} a \approx 1, 2247449 a .

Расстояние от центра многогранника до любой квадратной грани превосходит $r_{6}$ и равно

r_{4} = \sqrt{2} a \approx 1, 4142136 a .

Заполнение пространства

С помощью усечённых октаэдров можно замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений.

Фрагмент заполнения
Рёберная модель

Кроме того, пространство можно замостить усечёнными октаэдрами вместе с усечёнными кубооктаэдрами и кубами; вместе с усечёнными тетраэдрами и кубооктаэдрами.

Усечённые кубооктаэдры, усечённые октаэдры и кубы
Усечённые октаэдры, усечённые тетраэдры и кубооктаэдры.

В природе и культуре

Формы, близкие к усечённому октаэдру, встречаются у кристаллов флюорита (плавикового шпата), пирита, в атомных структурах содалита, фожазита.

Флюорит
Пирит
Атомная структура содалита

Ячейка в форме усечённого октаэдра используется при моделировании молекулярной динамики с периодическими граничными условиями для увеличения эффективности вычислений по сравнению с ячейками в форме параллелепипеда.

В виде усечённого октаэдра был выполнен Adidas Teamgeist, официальный мяч чемпионата мира по футболу 2006 года. Это первый подобный мяч чемпионата мира, состоящий из 14 панелей; ранее мячи изготавливались из 32 панелей и напоминали усечённый икосаэдр.