Телесный угол

Произвольный телесный угол

Теле́сный у́гол — часть пространства, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, стягивающей данный телесный угол). Частными случаями телесного угла являются трёхгранные и многогранные углы. Границей телесного угла является некоторая коническая поверхность. Обозначается телесный угол обычно буквой Шаблон:Math.

Телесный угол измеряется отношением площади той части сферы с центром в вершине угла, которая вырезается этим телесным углом, к квадрату радиуса сферы:

$\mathrm{\Omega }=\frac{S}{R^2}.$

Телесный угол равный одному стерадиану

Двойственный телесный угол к данному телесному углу Шаблон:Math определяется как угол, состоящий из лучей, образующих с любым лучом угла Шаблон:Math неострый угол.

Единицы телесного угла

Телесные углы измеряются отвлечёнными (безразмерными) величинами. Единицей измерения телесного угла в системе СИ является стерадиан, равный телесному углу, вырезающему из сферы радиуса Шаблон:Math поверхность с площадью Шаблон:Math². Кроме стерадианов, телесный угол может измеряться в квадратных градусах, квадратных минутах и квадратных секундах, а также в долях полного телесного угла. Полная сфера образует телесный угол, равный Шаблон:Nobr (полный телесный угол), для вершины, расположенной внутри сферы, в частности, для центра сферы; таким же является телесный угол, под которым видна любая замкнутая поверхность из точки, полностью охватываемой этой поверхностью, но не принадлежащей ей. Полный телесный угол иногда называют спат (Шаблон:Lang-en).

Телесный угол имеет нулевую физическую размерность.

Коэффициенты пересчёта единиц телесного угла.

$\mathrm{\Omega }$	Стерадиан (ср)	Кв. градус (Шаблон:Sqdeg)	Кв. минута (Шаблон:Sqarcmin)	Кв. секунда (Шаблон:Sqarcsec)	Полный угол (спат)
1 стерадиан =	1	(180/Шаблон:Math)² ≈ ≈ 3282,806 кв. градусов	(180×60/Шаблон:Math)² ≈ ≈ 1,1818103Шаблон:E кв. минут	(180×60×60/Шаблон:Math)² ≈ ≈ 4,254517Шаблон:E кв. секунд	1/4Шаблон:Math ≈ ≈ 0,07957747 полного угла
1 кв. градус =	(Шаблон:Math/180)² ≈ ≈ 3,0461742Шаблон:E стерадиан	1	60² = = 3600 кв. минут	(60×60)² = = 12 960 000 кв. секунд	π/(2×180)² ≈ ≈ 2,424068Шаблон:E полного угла
1 кв. минута =	(Шаблон:Math/(180×60))² ≈ ≈ 8,461595Шаблон:E стерадиан	1/60² ≈ ≈ 2,7777778Шаблон:E кв. градусов	1	60² = = 3600 кв. секунд	Шаблон:Math/(2×180×60)² ≈ ≈ 6,73352335Шаблон:E полного угла
1 кв. секунда =	(Шаблон:Math/(180×60×60))² ≈ ≈ 2,35044305Шаблон:E стерадиан	1/(60×60)² ≈ ≈ 7,71604938Шаблон:E кв. градусов	1/60² ≈ ≈ 2,7777778Шаблон:E кв. минут	1	Шаблон:Math/(2×180×60×60)² ≈ ≈ 1,87042315Шаблон:E полного угла
Полный угол =	4Шаблон:Math ≈ ≈ 12,5663706 стерадиан	(2×180)²/Шаблон:Math ≈ ≈ 41252,96125 кв. градусов	(2×180×60)²/Шаблон:Math ≈ ≈ 1,48511066Шаблон:E кв. минут	(2×180×60×60)²/Шаблон:Math ≈ ≈ 5,34638378Шаблон:E кв. секунд	1

Вычисление телесных углов

Для произвольной стягивающей поверхности Шаблон:Math телесный угол Шаблон:Math, под которым она видна из начала координат, равен

$\mathrm{\Omega }=\underset{S}{\int }d\mathrm{\Omega }=\underset{S}{\iint }\sin \vartheta d\phi d\vartheta =\underset{S}{\int }\frac{(𝐫/r)\cdot 𝐧dS}{r^2},$

где $r,\vartheta ,\phi$ — сферические координаты элемента поверхности $dS,$ $𝐫$ — его радиус-вектор, $𝐧$ — единичный вектор, нормальный к $dS.$

Свойства телесных углов

1. Полный телесный угол (полная сфера) равен 4Шаблон:Math стерадиан.
2. Сумма всех телесных углов, двойственных к внутренним телесным углам выпуклого многогранника, равна полному углу.

Величины некоторых телесных углов

• Треугольник с координатами вершин ${𝐫}_1$, ${𝐫}_2$, ${𝐫}_3$ виден из начала координат под телесным углом

$\mathrm{\Omega }=2\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{|({𝐫}_1{𝐫}_2{𝐫}_3)|}{r_1{r}_2{r}_3+({𝐫}_1\cdot {𝐫}_2)r_3+({𝐫}_2\cdot {𝐫}_3)r_1+({𝐫}_3\cdot {𝐫}_1)r_2},$

где $({𝐫}_1{𝐫}_2{𝐫}_3)$ — смешанное произведение данных векторов, $({𝐫}_i\cdot {𝐫}_j)$ — скалярные произведения соответствующих векторов, полужирным шрифтом обозначены векторы, нормальным шрифтом — их длины. Используя эту формулу, можно вычислять телесные углы, стянутые произвольными многоугольниками с известными координатами вершин (для этого достаточно разбить многоугольник на непересекающиеся треугольники).

• Телесный угол при вершине прямого кругового конуса с углом раствора Шаблон:Math равен $\mathrm{\Omega }=2\pi (1-\cos \frac{\alpha }{2}).$ Если известны радиус основания $R$ и высота $H$ конуса, то $\mathrm{\Omega }=2\pi (1-\frac{H}{\sqrt{R^2+H^2}}).$ Когда угол раствора конуса мал, $\mathrm{\Omega }\approx \frac{\pi {\alpha }^2}{4}$ (угол $\alpha$ выражен в радианах), или $\mathrm{\Omega }\approx 0,000239{\alpha }^2$ (угол $\alpha$ выражен в градусах). Так, телесный угол, под которым с Земли видны Луна и Солнце (их угловой диаметр примерно равен 0,5°), составляет около 6Шаблон:E стерадиан, или ≈0,0005 % площади небесной сферы (то есть полного телесного угла).
• Телесный угол двугранного угла в стерадианах равен удвоенному значению двугранного угла в радианах.
• Телесный угол трёхгранного угла выражается по теореме Люилье через его плоские углы ${\theta }_a,{\theta }_b,{\theta }_c$ при вершине, как:

$\mathrm{\Omega }=4\mathrm{arctg}\sqrt{\mathrm{tg}\left(\frac{{\theta }_s}{2}\right)\mathrm{tg}\left(\frac{{\theta }_s-{\theta }_a}{2}\right)\mathrm{tg}\left(\frac{{\theta }_s-{\theta }_b}{2}\right)\mathrm{tg}\left(\frac{{\theta }_s-{\theta }_c}{2}\right)},$ где ${\theta }_s=\frac{{\theta }_a+{\theta }_b+{\theta }_c}{2}$ — полупериметр.

Через двугранные углы $\alpha ,\beta ,\gamma$ телесный угол выражается как:

$\mathrm{\Omega }=\alpha +\beta +\gamma -\pi .$

• Телесный угол при вершине куба (или любого другого прямоугольного параллелепипеда) равен $\frac{1}{8}$ полного телесного угла, или $\frac{\pi }{2}$ стерадиан.
• Телесный угол, под которым видна грань [[правильный многогранник|правильного Шаблон:Math-гранника]] из его центра, равна $\frac{1}{N}$ полного телесного угла, или $\frac{4\pi }{N}$ стерадиан.

• 

  Телесный угол при вершине наклонного кругового конуса

  Телесный угол, под которым виден круг радиусом Шаблон:Math из произвольной точки пространства (то есть телесный угол при вершине произвольного кругового конуса, не обязательно прямого) вычисляется с использованием полных эллиптических интегралов 1-го и 3-го рода:

$\mathrm{\Omega }=2\pi +\frac{2H}{L}(\frac{r-R}{r+R}\mathrm{\Pi }({\alpha }^2,k)-K(k))$ при $r\le R,$

$\mathrm{\Omega }=\frac{2H}{L}(\frac{r-R}{r+R}\mathrm{\Pi }({\alpha }^2,k)-K(k))$ при $r>R,$

где $K(k)$ и $\mathrm{\Pi }({\alpha }^2,k)$ — полные нормальные эллиптические интегралы Лежандра 1-го и 3-го рода, соответственно;

$r$ — расстояние от центра основания конуса до проекции вершины конуса на плоскость основания;

$H$ — высота конуса;

$L=\sqrt{H^2+(r+R{)}^2}$ — длина максимальной образующей конуса;

$k=\frac{\sqrt{4rR}}{L};$

$\alpha =\frac{\sqrt{4rR}}{r+R}.$

Литература

• Hopf H. Selected Chapters of Geometry // ETH Zürich lecture, pp. 1—2, 1940.
• Шаблон:Cite doi
• Weisstein E. W. Solid Angle. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
• Шаблон:Cite doi

См. также

• Угол
• Двугранный угол
• Трёхгранный угол
• Многогранный угол