Усечённый кубооктаэдр

Усечённый кубооктаэдр
Тип	Полуправильный многогранник
Грань	квадрат, шестиугольник, восьмиугольник
Граней	$26$
Рёбер	$72$
Вершин	$48$
Граней при вершине	$3$
Телесный угол	4-6:arccos(-sqrt(6)/3)=144°44’08" 4-8:arccos(-sqrt(2)/3)=135° 6-8:arccos(-sqrt(3)/3)=125°15’51"
Точечная группа симметрии	Октаэдрическая, [4,3]Шаблон:Sup, (432), порядок 24
Двойственный многогранник	Гекзакисоктаэдр
Развёртка
С раскраской граней	Вершинная фигура

Усечённый кубооктаэдрШаблон:SfnШаблон:Sfn, усечённый кубоктаэдрШаблон:Sfn — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 12 квадратными гранями, 8 гранями в виде правильного шестиугольника, 6 гранями в виде правильного восьмиугольника, 48 вершинами и 72 рёбрами. Поскольку каждая из граней многогранника имеет центральную симметрию (что эквивалентно повороту на 180°), усечённый кубооктаэдр является зоноэдром.

Другие названия

Этот многогранник имеет несколько названий:

• Усечённый кубооктаэдр (Иоганн Кеплер)
• Ромбоусечённый кубооктаэдр (Магнус ВеннинджерШаблон:SfnШаблон:Sfn)
• Большой ромбокубооктаэдр (Шаблон:Нп5 Шаблон:Sfn)
• Большой ромбокубооктаэдр (Питер Кромвель Шаблон:Sfn)
• Общеусечённый куб (omnitruncated cube) или скос-усечённый куб (cantitruncated cube) (Шаблон:Нп5)

Название усечённый кубооктаэдр, данное первоначально Иоганном Кеплером, несколько вводит в заблуждение. Усечение кубооктаэдра путём отсечения углов (вершин) не позволяет получить эту однородную фигуру — некоторые грани будут прямоугольниками. Однако полученная фигура топологически эквивалентна усечённому кубооктаэдру и всегда может быть деформирована до состояния, когда грани станут правильными.

Альтернативное название — большой ромбокубооктадр — ссылается на тот факт, что 12 квадратных граней лежат в тех же плоскостях, что и 12 граней ромбододекаэдра, который двойственен кубооктаэдру. Ср. малый ромбокубооктаэдр.

Также существует Шаблон:Нп5 с тем же именем — Шаблон:Нп5.

Декартовы координаты

Декартовы координаты вершин усечённого кубооктаэдра, имеющего ребро длины 2 и имеющего центр в начале координат, являются перестановками чисел:

(±1, ±(1+√2), ±(1+2√2))

Площадь и объём

Площадь A и объём V усечённого кубооктаэдра с ребром длины a равны:

$A=12(2+\sqrt{2}+\sqrt{3})a^2\approx 61.7551724a^2$

$V=(22+14\sqrt{2})a^3\approx 41.7989899a^3.$

Рассечение

Усечённый кубооктаэдр можно препарировать (вырезать части), превратив его в центральный ромбокубооктаэдр с 6 Шаблон:Нп5 над первичными квадратными гранями, 8 Шаблон:Нп5 над треугольными гранями и 12 кубами над вторичными квадратными гранями.

Препарированный усечённый кубооктаэдр может дать Шаблон:Нп5 рода 5, 7 или 11, если удалить центральный ромбокубооктаэдр и либо квадратные купола, либо треугольные купола, или 12 кубов соответственно. Можно построить много других тороидов с меньшей степенью симметрии путём удаления подмножества этих компонент препарации. Например, удаление половины треугольных куполов создаёт тороид рода 3, который (при правильном выборе удаляемых куполов) имеет тетраэдральную симметриюШаблон:Sfn.

Тороиды Стюарта

Род 3	Род 5	Род 7	Род 11

Однородные раскраски

Существует только одна однородная раскраска граней этого многогранника, по одному цвету на каждый тип грани.

Существует 2-однородная раскраска тетраэдральной симметрией с раскраской шестиугольников в два цвета.

Ортогональные проекции

Усечённый кубооктаэдр имеет две специальные ортогональные проекции в AШаблон:Sub и BШаблон:Sub плоскости Коксетера с [6] и [8] проективными симметриями, и множество [2] симметрий можно построить, исходя из различных плоскостей проекции.

Ортогональные проекции

Центрированы относительно	Вершины	Ребра 4-6	Ребра 4-8	Ребра 6-8	Нормали к грани 4-6
Изображение
Проективная симметрия	[2]Шаблон:Sup	[2]	[2]	[2]	[2]
Центрированы относительно	Нормали к квадрату	Нормали к восьмиграннику	Квадратной грани	Шестиугольной грани	Восьмиугольной грани
Изображение
Проективная симметрия	[2]	[2]	[2]	[6]	[8]

Сферические мозаики

Усечённый кубооктаэдр можно представить как сферическую мозаику и спроектировать на плоскость с помощью стереографической проекции. Эта проекция конформна, она сохраняет углы, но не сохраняет длины и площади. Прямые линии на сфере проецируются в круговые дуги на плоскости.

	квадрат-центрированная	шестиугольник-центрированная	восьмиугольник-центрированная
Ортогональная проекция	Стереографические проекции

Связанные многогранники

Усечённый кубооктаэдр входит в семейство однородных многогранников, связанных с кубом и правильным октаэдром.

Этот многогранник можно считать членом последовательности однородных вершинных фигур со схемой (4.6.2p) и диаграммой Коксетера — Дынкина Шаблон:CDD. Для p < 6 члены последовательности являются Шаблон:Нп5 многогранниками (зоноэдрами), показанными ниже как сферические мозаики. Для p > 6 они являются мозаиками на гиперболической плоскости, начиная с Шаблон:Нп5. Шаблон:Таблица полностью усечённых мозаик Шаблон:Таблица-4 полностью усечённых мозаик

Граф усечённого кубооктаэдра

В теории графов граф усечённого кубооктаэдра (или граф большого ромбокубооктаэдра) — это Шаблон:Нп5 усечённого кубооктаэдра. Он имеет 48 вершин и 72 ребра, Шаблон:Нп5 и является кубическим архимедовым графом Шаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга (Модель 15, стр. 29)
• Шаблон:Книга (Секция 3-9, стр. 82)
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Mathworld
• 3D convex uniform polyhedra
• Editable printable net of a truncated cuboctahedron with interactive 3D view
• The Uniform Polyhedra
• Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
• great Rhombicuboctahedron: paper strips for plaiting