Гекзакисоктаэдр

Гекзакисокта́эдр (от Шаблон:Lang-grc — «шестижды», Шаблон:Lang-grc2 — «восемь» и Шаблон:Lang-grc2 — «грань»), также называемый дисдакисдодека́эдром (от Шаблон:Lang-grc — «дважды», Шаблон:Lang-grc2 — «два раза», Шаблон:Lang-grc2 — «двенадцать» и Шаблон:Lang-grc2 — «грань»), — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный ромбоусечённому кубооктаэдру.

Составлен из 48 одинаковых разносторонних остроугольных треугольников с углами $\arccos \frac{1+6\sqrt{2}}{12}\approx 37,77^{\circ },$ $\arccos \frac{6-\sqrt{2}}{8}\approx 55,02^{\circ }$ и $\arccos \frac{2-\sqrt{2}}{12}\approx 87,20^{\circ }.$

Имеет 26 вершин; в 6 вершинах (расположенных так же, как вершины октаэдра) сходятся своими наименьшими углами по 8 граней, в 8 вершинах (расположенных так же, как вершины куба) сходятся своими средними по величине углами по 6 граней, в 12 вершинах (расположенных так же, как вершины кубооктаэдра) сходятся своими наибольшими углами по 4 грани.

У гекзакисоктаэдра 72 ребра — 24 «длинных» (расположенных так же, как рёбра ромбододекаэдра), 24 «средних» и 24 «коротких». Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен $\arccos (-\frac{71+12\sqrt{2}}{97})\approx 155,08^{\circ }.$

Гекзакисоктаэдр можно получить из ромбододекаэдра, приложив к каждой грани того неправильную четырёхугольную пирамиду с ромбическим основанием, равным грани ромбододекаэдра, и высотой, которая в $2\sqrt{\frac{1}{7}(26+32\sqrt{2})}\approx 6,38$ раз меньше стороны основания.

Гекзакисоктаэдр — одно из трёх каталановых тел, в которых существует эйлеров путь.

Метрические характеристики

Если «короткие» рёбра гекзакисоктаэдра имеют длину $a$, то его «средние» рёбра имеют длину $\frac{3}{14}\sqrt{22+12\sqrt{2}}a\approx 1,34a,$ а «длинные» рёбра — длину $\frac{1}{7}\sqrt{102+20\sqrt{2}}a\approx 1,63a.$

Площадь поверхности и объём многогранника при этом выражаются как

$S=\frac{6}{7}\sqrt{783+436\sqrt{2}}{a}^2\approx 32,0667340a^2,$

$V=\frac{1}{7}\sqrt{3(2194+1513\sqrt{2})}{a}^3\approx 16,2889191a^3.$

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах) при этом будет равен

$r=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{97}(498+285\sqrt{2})}a\approx 1,5239081a,$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

$\rho =\frac{1}{4}\sqrt{22+12\sqrt{2}}a\approx 1,5606602a.$

Описать около гекзакисоктаэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

Ссылки

• Шаблон:Mathworld