Равнобедренная трапеция

В евклидовой геометрии равнобедренная трапеция — это выпуклый четырёхугольник с осью симметрии, проходящей через середины двух противоположных сторон. Этот четырёхугольник является частным случаем трапеций. В любой равнобедренной трапеции две противоположные стороны (основания) параллельны, а две другие стороны (боковые) имеют одинаковые длины (свойство, которому удовлетворяет также параллелограмм). Диагонали также имеют одинаковые длины. Углы при каждом основании равны и углы при разных основаниях являются смежными (в сумме дающие 180º).

Специальные случаи

Файл:Isosceles trapezoid special cases RU.svg

Специальные случаи трапеций

Прямоугольники и квадраты обычно рассматриваются как специальные случаи равнобедренных трапеций, хотя в некоторых источниках они таковыми не считаются.

Другим специальным случаем является трапеция с 3 равными сторонами. В англоязычной литературе её называют trilateral trapezoid (трёхсторонняя трапеция) , trisosceles trapezoid (триравнобедренная трапеция) или, реже, symtra Шаблон:Sfn. Такую трапецию можно рассматривать как отсечение 4 последовательных вершин от правильного многоугольника, имеющего 5 или более сторон.

Самопересечения

Любой несамопересекающийся четырёхугольник с единственной осью симметрии должен быть либо равнобедренной трапецией, либо дельтоидомШаблон:Sfn. Однако, если разрешить самопересечение, множество симметричных четырёхугольников нужно расширить включением в него самопересекающиеся равнобедренные трапеции, в которых пересекающиеся стороны равны, а две другие стороны параллельны, и антипараллелограммы, у которых противоположные стороны имеют равные длины.

У любого антипараллелограмма выпуклая оболочка является равнобедренной трапецией и антипараллелограмм может быть получен из диагоналей равнобедренной трапецииШаблон:Sfn.

Выпуклая равнобедренная трапеция	Самопересекающаяся равнобедренная трапеция	Антипараллелограмм

Свойства

Если четырёхугольник является трапецией, не обязательно проверять, равны ли боковые стороны (и недостаточно, поскольку ромбы являются специальными случаями трапеций с боковыми сторонами равной длины, но у них нет осевой симметрии через середины оснований). Любое из следующих свойств выделяет равнобедренную трапецию от других трапеций:

• Диагонали имеют одинаковую длину.
• Углы при основании равны.
• Отрезок, соединяющий середины параллельных сторон, перпендикулярен им.
• Сумма противоположных углов равна 180°, из чего, в свою очередь, следует, что равнобедренные трапеции являются вписанными четырёхугольниками.
• Диагонали делятся точкой пересечения на попарно равные отрезки. В терминах рисунка ниже, Шаблон:Nowrap, Шаблон:Nowrap (и Шаблон:Nowrap, если хотят исключить прямоугольники).

Если прямоугольники включаются в класс трапеций, то можно определить равнобедренную трапецию как "вписанный четырёхугольник с равными диагоналями" , как "вписанный четырёхугольник с парой параллельных сторон", или как "выпуклый четырёхугольник с осью симметрии, проходящей через середины противоположных сторон".

Углы

В равнобедренной трапеции углы при основаниях попарно равны. На рисунке ниже углы ∠ABC и ∠DCB являются одинаковыми тупыми углами, а углы ∠BAD и ∠CDA являются одинаковыми острыми углами.

Поскольку прямые AD и BC параллельны, углы, принадлежащие противоположным основаниям, являются дополнительными, то есть Шаблон:Nowrap

Диагонали и высота

Другая равнобедренная трапеция.

Диагонали равнобедренной трапеции равны. То есть любая равнобедренная трапеция является равнодиагональным четырёхугольником. Однако диагонали равнобедренной трапеции делятся в одной и той же пропорции. На рисунке диагонали AC и BD имеют одинаковую длину (Шаблон:Nowrap) и делят друг друга на отрезки той же длины (Шаблон:Nowrap и Шаблон:Nowrap).

Отношение, в котором делятся диагонали, равно отношению длин параллельных сторон, то есть

$\frac{AE}{EC}=\frac{DE}{EB}=\frac{AD}{BC}.$

Длина каждой диагонали, согласно следствию из теоремы Птолемея, задаётся формулой

$p=\sqrt{ab+c^2}$,

где a и b — длины параллельных сторон AD и BC, а c — длина каждой боковой стороны AB и CD.

Высота, согласно теореме Пифагора, задаётся формулой

$h=\sqrt{p^2-{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{4c^2-(a-b{)}^2}.$

Расстояние от точки E до основания AD задаётся формулой

$d=\frac{ah}{a+b}$,

где a и b — длины оснований AD и BC, а h — высота трапеции.

Площадь

Площадь равнобедренной (а также любой) трапеции равна половине произведения суммы оснований на высоту. На рисунке, если мы примем Шаблон:Nowrap, Шаблон:Nowrap, а высота h равна длине отрезка между прямыми AD и BC (перпендикулярного им), то площадь K задаётся формулой:

$K=\frac{a+b}{2}h$.

Если вместо высоты трапеции известны длины боковых сторон AB =CD = c, то площадь можно вычислить по формуле Брахмагупты площади вписанных четырёхугольников. Равенство двух боковых сторон упрощает формулу до

$K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c{)}^2},$

где $s=\frac{1}{2}(a+b+2c)$ — полупериметр трапеции. Эта формула аналогична формуле Герона вычисления площади треугольника. Эту же формулу можно переписать в виде

$K=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b{)}^2(a-b+2c)(b-a+2c)}.$

Радиус описанной окружности

Радиус описанной окружности задаётся формулой

$R=c\sqrt{\frac{ab+c^2}{4c^2-(a-b{)}^2}}.$

Для прямоугольника, в котором a = b, формула упрощается до $R=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+c^2}$.

См. также

• Равнобедренная описанная трапеция

Литература

• Шаблон:Книга.
• Шаблон:Книга.

Ссылки

• Some engineering formulas involving isosceles trapezoids