Японская теорема о вписанном четырёхугольнике

Шаблон:Math является прямоугольником.

Японская теорема о вписанном четырёхугольнике утверждает, что центры окружностей, вписанных в определённые треугольники внутри вписанного в окружность четырёхугольника, являются вершинами прямоугольника.

Разбиение произвольного вписанного четырёхугольника диагоналями даёт четыре перекрывающих друг друга треугольника каждая диагональ создаёт два треугольника). Центры вписанных в эти треугольники окружностей образуют прямоугольник.

В частности, пусть Шаблон:Math — произвольный вписанный четырёхугольник и пусть Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math — центры вписанных в треугольники Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math окружностей. Тогда четырёхугольник, образованный центрами Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math, является прямоугольником.

ДоказательствоШаблон:Sfn

$\mathrm{\angle }A{M}_{2}B=180^{\circ }-\mathrm{\angle }BAC/2-\mathrm{\angle }ABC/2=90^{\circ }+\mathrm{\angle }ACB/2$ (поскольку $A{M}_2$ является биссектрисой угла $\mathrm{\angle }BAC$, а $B{M}_2$ является биссектрисой угла $\mathrm{\angle }ABC$)

Аналогично получаем $\mathrm{\angle }A{M}_{1}B=180^{\circ }-\mathrm{\angle }ABD/2-\mathrm{\angle }BAD/2=90^{\circ }+\mathrm{\angle }BDA/2$

Поскольку четырёхугольник $ABCD$ вписанный, имеем $\mathrm{\angle }ADB=\mathrm{\angle }ACB$, откуда следует, что четырёхугольник $\mathrm{\angle }A{M}_1{M}_{2}B$ тоже вписан в окружность, так что получаем $\mathrm{\angle }{M}_1{M}_{2}B=180^{\circ }-\mathrm{\angle }BA{M}_1=180^{\circ }-\mathrm{\angle }A/2$

Аналогично получаем $\mathrm{\angle }B{M}_2{M}_3=180^{\circ }-\mathrm{\angle }C/2$

А следовательно, $\mathrm{\angle }{M}_1{M}_2{M}_3=360^{\circ }-(\mathrm{\angle }{M}_1{M}_{2}B+\mathrm{\angle }B{M}_2{M}_3)=(\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }C)/2=180^{\circ }/2=90^{\circ }$

Тем же самым способом доказываем для других углов. Получаем, что все четыре угла четырёхугольника прямые. Теорема доказана

Заметим, что доказательство этой теоремы легко обобщается до доказательства японской теоремы о вписанных многоугольниках (Japanese theorem for cyclic polygons).

Из случая четырёхугольника немедленно вытекает доказательство для общего вписанного многоугольника (по индукции по числу треугольников в разбиении многоугольника).

Замечание 1

Для вписанного четырёхугольника японская теорема о вписанном четырёхугольнике является составной частью более сложного утверждения:

• Во вписанном четырёхугольнике ABCD центры вписанных окружностей треугольников ABC, BCD, CDA и DAB являются вершинами прямоугольника, ортоцентры тех же четырёх треугольников являются вершинами четырёхугольника, равного ABCD, центроиды этих четырёх треугольников являются вершинами другого вписанного четырёхугольникаШаблон:Sfn.

См. также

• Васан
• Касательная прямая к окружности
• Окружность
• Сангаку
• Теорема о вписанных окружностях
• Формула Карно

Литература

• Mangho Ahuja, Wataru Uegaki, Kayo Matsushita: In Search of the Japanese Theorem (postscript file)
• Theorem at Cut-the-Knot
• Wataru Uegaki: "Шаблон:Nihongo2" (On the Origin and History of the Japanese Theorem). Departmental Bulletin Paper, Mie University Scholarly E-Collections, 2001-03-01
• Wilfred Reyes: An Application of Thebault’s Theorem. Forum Geometricorum, Volume 2, 2002, pp. 183–185
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Japanese theorem, interactive proof with animation