Окружность Аполлония

$d_1/d_2$ не зависит от $P$.

Окружности Аполлония. Каждая голубая окружность пересекает каждую красную под прямым углом. Каждая красная окружность проходит через две точки (C и D), и каждая голубая окружность окружает только одну из этих точек

Окружность Аполло́ния — геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух заданных точек — величина постоянная, не равная единице.

Биполярные координаты — ортогональная система координат на плоскости, основанная на кругах Аполлония.

Определение

Пусть на плоскости даны две точки $A$ и $B$. Рассмотрим все точки $P$ этой плоскости, для каждой из которых отношение

$k=\frac{PA}{PB}$

есть фиксированное положительное число. При $k=1$ эти точки заполняют срединный перпендикуляр к отрезку $AB$; в остальных случаях указанное геометрическое место — окружность, называемая окружностью Аполлония.

Замечания

• Точки $A$ и $B$ называются фокусами окружности Аполлония.

Свойства

• Радиус окружности Аполлония равен $R=\frac{k}{|k^2-1|}\cdot AB.$
• Отрезок $PC$ между точкой на окружности и точкой пересечения окружности с прямой $AB$ является биссектрисой самого угла $\mathrm{\angle }APB$ или угла, смежного с ним.
• Инверсия относительно окружности Аполлония меняет точки $A$ и $B$ местами.
• Центр данной окружности лежит на прямой, соединяющей эти две точки.

О доказательствах

• Одно из доказательств основано на свойстве внутренней и внешней биссектрисы треугольника, а именно то что биссектриса делит противоположную сторону в отношении пропорциональном прилежащим к ней сторонам.
• Существует доказательство, основанное на свойстве инверсии.
• Также существует довольно простое доказательство прямым подсчётом в координатах.

Приложения

• Часто используется в анализе построений с помощью циркуля и линейки. В частности одно из решений задачи Брахмагупты основано на построении окружности Аполлония.

• Окружность Аполлония находит применение при решении задачи сближения на плоскости с использованием стратегии параллельного сближения.

См. также

• Эллиптические координаты

• Похоже определяемые кривые
  • Гипербола — кривая постоянной разности расстояний между фокусами;
  • Эллипс — кривая постоянной суммы расстояний между фокусами;
  • овал Кассини — кривая постоянного произведения расстояний между фокусами.