Полярное преобразование кривой

Гипербола — полярное преобразование окружности. И наоборот

Поля́рное преобразова́ние криво́й (Шаблон:Lang-de, от Шаблон:Lang-la, греч. πόλος — полюс, осьШаблон:Sfn; Шаблон:Lang-en) относительно окружности — преобразование плоскости, отображающее любую кривую плоскости в кривую, которая огибает поляры точек исходной кривой относительно некоторой фиксированной окружности полярного преобразования, центр которой называется полюсом полярного преобразованияШаблон:Sfn.

Полярное преобразование кривой есть инволюция, то есть при повторном полярном преобразовании получим снова исходную кривуюШаблон:Sfn.

Например, полярное преобразование окружности может быть гиперболойШаблон:Sfn, как показано на рисунке справа.

Подера кривой есть инверсия полярного преобразования кривой. Инверсия кривой есть подера полярного преобразования кривойШаблон:Sfn.

Уравнение полярно преобразованной кривой

Имеет место следующее утверждениеШаблон:Sfn:

в комплексных числах для параметрически заданной кривой $z(t)=(x(t),iy(t))$, имеющей производную $z^{\prime }(t)=(x^{\prime }(t),i{y}^{\prime }(t))$, уравнение полярно преобразованной кривой

$Z(t)=(X(t),iY(t))$

будут таким:

$Z(t)=\frac{2z^{\prime }(t)}{\overline{z(t)}{z}^{\prime }(t)-z(t)\overline{z^{\prime }(t)}}.$

Примеры полярно преобразованной кривой

Полярное преобразование окружности

Полярное преобразование окружности есть коника. Поскольку полярное преобразование кривой есть инволюция, то полярное преобразование коники есть окружность.

Найдём уравнение полярно преобразованной окружности. Уравнение окружности в комплексном параметрическом виде

$z=z_0+R{e}^{it},$

где $z_0$ — постоянный комплексный центр окружности; $R$ — постоянный вещественный радиус окружности; $t$ — вещественный параметр. Получаем:

$z^{\prime }=Ri{e}^{it},$

$\overline{z}=z_0+R{e}^{-it},$

${\overline{z}}^{\prime }=-Ri{e}^{-it},$

и уравнение полярно преобразованной окружности (относительно единичной окружности полярного преобразования с центром в начале координат)

$Z(t)=\frac{2z^{\prime }(t)}{\overline{z(t)}{z}^{\prime }(t)-z(t)\overline{z^{\prime }(t)}}=$

$=\frac{2Ri{e}^{it}}{(z_0+R{e}^{-it})Ri{e}^{it}+(z_0+R{e}^{it})Ri{e}^{-it}}=$

$=\frac{2e^{it}}{(z_0+R{e}^{-it})e^{it}+(z_0+R{e}^{it})e^{-it}}=$

$=\frac{2e^{it}}{z_0(e^{it}+e^{-it})+2R{e}^{-it}{e}^{it}}=$

$=\frac{e^{it}}{z_0\cos t+R}$

есть уравнение коники:Шаблон:Sfn.

• гиперболы, если $|z_0|>R$, то есть полюс полярного преобразования находится вне исходной окружности;
• параболы, если $|z_0|=R$, то есть полюс полярного преобразования лежит на исходной окружности;
• эллипса, если $|z_0|<R$, то есть полюс полярного преобразования внутри исходной окружности;
• окружности, если $|z_0|=0$, то есть полюс полярного преобразования есть центр исходной окружности.

Гипербола — полярное преобразование окружности

Красная гипербола — полярное преобразование чёрной окружности относительно тонкой окружности и наоборот. Зелёная окружность — подера гиперболы относительно центра тонкой окружности. Синяя улитка Паскаля — подера чёрной окружности. Зелёная окружность — инверсия чёрной и наоборот. Гипербола — инверсия улитки Паскаля и наоборот

Полярное преобразование чёрной окружности

$(x-8{)}^2+y^2=4$

относительно фиолетовой окружности

$x^2+y^2=16$

есть красная гипербола

${\left(\frac{15}{8}\right)}^2{(x-\frac{32}{15})}^2-\frac{15}{64}{y}^2=1$

с фокусом в начале координат, как показано на рисунке справа вместе с двумя подерными преобразованиями и двумя инверсиями относительно начала координат и фиолетовой окружности, где синяя улитка Паскаля

${(x^2+y^2-8x)}^2=4(x^2+y^2)$ —

подера чёрной окружности, а зелёная окружность

${(x-\frac{32}{15})}^2+y^2={\left(\frac{8}{15}\right)}^2$ —

подера красной гиперболы, причём инверсией получаются друг из друга: чёрная и зелёная окружности; улитка Паскаля и гипербола. Шаблон:Clear

Парабола — полярное преобразование окружности

Красная парабола — полярное преобразование чёрной окружности относительно тонкой окружности и наоборот. Зелёная прямая — подера параболы относительно центра тонкой окружности. Синяя кардиоида — подера чёрной окружности. Зелёная прямая — инверсия чёрной окружности и наоборот. Парабола — инверсия кардиоиды и наоборот

Полярное преобразование чёрной окружности

$(x-2{)}^2+y^2=4$

относительно фиолетовой окружности

$x^2+y^2=25$

есть красная парабола

$y^2=25(\frac{25}{4}-x)$

с фокусом в начале координат, как показано на рисунке справа вместе с двумя подерными преобразованиями и двумя инверсиями относительно начала координат и фиолетовой окружности, где синяя кардиоида

${(x^2+y^2-8x)}^2=4(x^2+y^2)$ —

подера чёрной окружности, а зелёная вертикальная прямая

$x=\frac{25}{4}$ —

подера параболы, причём инверсией получаются друг из друга: чёрная окружность и зелёная прямая; синяя кардиоида и красная парабола. Шаблон:Clear

Эллипс — полярное преобразование окружности

Красный эллипс — полярное преобразование чёрной окружности относительно тонкой окружности и наоборот. Зелёная окружность — подера эллипса относительно центра тонкой окружности. Синяя улитка Паскаля — подера чёрной окружности. Зелёная окружность — инверсия чёрной окружности и наоборот. Эллипс — инверсия улитки Паскаля и наоборот

Полярное преобразование чёрной окружности

$(x-1{)}^2+y^2=4$

относительно фиолетовой окружности

$x^2+y^2=16$

есть красный эллипс

${\left(\frac{3}{32}\right)}^2{(x+\frac{16}{3})}^2+\frac{3}{16^2}{y}^2=1$

с фокусом в начале координат, как показано на рисунке справа вместе с двумя подерными преобразованиями и двумя инверсиями относительно начала координат и фиолетовой окружности, где синяя улитка Паскаля

$(x^2+y^2-x{)}^2=4(x^2+y^2)$ —

подера чёрной окружности, а зелёная окружность

${(x+\frac{16}{3})}^2+y^2={\left(\frac{32}{3}\right)}^2$ —

подера эллипса, причём инверсией получаются друг из друга: чёрная и зелёная окружности; синяя улитка Паскаля и красный эллипс. Шаблон:Clear

Свойства полярного преобразования кривой

Полярное преобразование кривой есть инволюция

Имеет место следующее утверждениеШаблон:Sfn:

полярное преобразование кривой есть инволюция, то есть при повторении полярного преобразовании кривой получим снова исходную кривую.

Полярное преобразование кривой есть инверсия подеры

Сравнивая два комплексных параметрических уравнения кривых, полученных из исходной кривой относительно полюса ${𝐳}_0=(0,0)$:

подеры

$Z(t)=\frac{z(t)\overline{z^{\prime }(t)}-\overline{z(t)}{z}^{\prime }(t)}{2\overline{z^{\prime }(t)}};$

полярно преобразованной кривой

$Z(t)=\frac{2z^{\prime }(t)}{\overline{z(t)}{z}^{\prime }(t)-z(t)\overline{z^{\prime }(t)}},$

получаем, что эти уравнения переводятся друг в друга инверсией $\frac{1}{\overline{z}}$ относительно общего полюсаШаблон:Sfn.

Следовательно, имеют место два инверсно-подерных утверждения (как показано на схеме справа)Шаблон:Sfn:

• подера кривой есть инверсия полярного преобразования кривой;
• инверсия кривой есть подера полярного преобразования кривой.

Эти утверждения позволяют построить следующую схему (показанную на рисунке справа) преобразований кривых для подеры, инверсии и полярного преобразования кривой, из которой следуют два утвержденияШаблон:Sfn:

• исходная кривая и её подера меняются ролями с помощью инверсии. На схеме кривая $C_2$ и её подера $C_4$ путём инверсии переходят в подеру $C_3$ кривой $C_5$ соответственно;
• исходная кривая и её подера меняются ролями с помощью полярного преобразования кривой. На схеме кривая $C_1$ и её подера $C_2$ путём полярного преобразования кривой переходят в подеру $C_3$ кривой $C_5$ соответственно.

Примеры преобразования кривых по этой схеме показаны на рисунке в разделе статьи Примеры полярно преобразованной кривой. Например, если $C_2$ — окружность, то $C_5$ коника, $C_3$ — другая окружность или прямая и $C_4$ — улитка Паскаля. Шаблон:Clear

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H