Арбелос

Лезвие сапожного ножа похоже на арбелос.

Арбелос (Шаблон:Lang-el — сапожный нож) — плоская геометрическая фигура, образованная большим полукругом, из которого вырезаны два меньших, диаметры которых лежат на диаметре большого и разбивают его на две части. Точнее, пусть A, B и C — точки на одной прямой, тогда три полуокружности с диаметрами AB, BC и AC, расположенные по одну сторону от этой прямой, ограничивают арбелосШаблон:Sfn.

Свойства

Теорема Паппа Александрийского

Теорема Паппа: $h_1=d_1$, $h_2=2d_2$,…, $h_n=n{d}_n$.

Даны арбелос ABC (точка A лежит между точками B и C) и окружности ${\omega }_1$, ${\omega }_2$,…,${\omega }_n$ ($n\in N$), причем окружность ${\omega }_1$ касается дуг AB, BC и AC, а при $n\ge 2$ окружность ${\omega }_n$ касается дуг AB и BC и окружности ${\omega }_{n-1}$.

Тогда при любом натуральном $n$ расстояние от центра окружности ${\omega }_n$ до прямой BC равно произведению диаметра этой окружности на её номер $n$Шаблон:SfnШаблон:Sfn:

$h_n=n{d}_n$.

Площадь

Площадь арбелоса равна площади круга с диаметром HA.

$S=\frac{1}{4}\pi |HA{|}^2$,

где H — точка на окружности с диаметром BC, такая, что AH перпендикулярно BC.

Прямоугольник

Отрезок BH пересекает полуокружность BA в точке D. Отрезок CH пересекает полуокружность AC в точке E. Тогда DHEA является прямоугольником.

Касательные

Прямая DE касается полуокружности BA в точке D и полуокружности AC в точке E.

Замечание

Две равные архимедовы окружности-близнецы (красные) в арбелосе (серый)

В «Леммах» также рассматриваются Шаблон:Iw (см. рис.).

См. также

• Салинон
• Цепь Паппа Александрийского
• Архимед
• Шаблон:Iw

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга