Преобразование Лежандра

Преобразование Лежандра для заданной функции $f(x)$ — это построение функции $f^{\ast }(p)$, двойственной ей по Юнгу. Если исходная функция была определена на векторном пространстве $V$, её преобразованием Лежандра будет функция, определённая на сопряжённом пространстве $V^{\ast }$, то есть на пространстве линейных функционалов на пространстве $V$.

Мотивация

Возможная мотивация может быть выражена в виде менее общего определения. Преобразование Лежандра — это такая замена функции и переменной, при которой старая производная принимается за новую переменную, а старая переменная — за новую производную.

Выражение для дифференциала

$df(x)=f^{\prime }(x)dx$

в силу того, что $d(x{f}^{\prime })=f^{\prime }dx+xd{f}^{\prime }$, может быть записано в виде

$d(x{f}^{\prime }-f)=xd{f}^{\prime }.$

Если теперь принять, что

$F=x{f}^{\prime }-f,y=f^{\prime }(x),$

что и является преобразованием Лежандра $(f,x)\to (F,y)$, тогда

$dF(y)=F^{\prime }(y)dy,x=F^{\prime }(y).$

При этом новая переменная $y$ равна старой производной, а старая переменная $x$ равна новой производной:

$y=f^{\prime }(x),x=F^{\prime }(y).$

Определения могут отличаться знаком $F$. Если исходных переменных $x$ больше, чем одна, преобразование Лежандра может быть осуществлено по любому подмножеству из них.

Определение

Аналитическое определение

Преобразованием Лежандра функции $f$, заданной на подмножестве $M$ векторного пространства $V$, называется функция $f^{\ast }$, определенная на подмножестве $M^{\ast }$ сопряжённого пространства $V^{\ast }$ по формуле

$f^{\ast }(p)=\underset{x\in M}{\sup }(⟨p,x⟩-f(x)),p\in M^{\ast }=\{p:\underset{x\in M}{\sup }(⟨p,x⟩-f(x))<\mathrm{\infty }\},$

где $⟨p,x⟩$ — значение линейного функционала $p$ на векторе $x$. В случае гильбертова пространства $⟨p,x⟩$ — обычное скалярное произведение. В частном случае дифференцируемой функции, заданной в ${ℛ}^n$, переход к сопряженной функции осуществляется по формулам

$f^{\ast }(p)=⟨p,x⟩-f(x),p=\frac{\partial f}{\partial x}=\mathrm{grad}f,$

причём $x$ нужно выразить через $p$ из второго уравнения.

Геометрический смысл

Шаблон:Seealso Для выпуклой функции $f(x)$ её надграфик $\mathrm{epi}f=\{(x,y)\mid y⩾f(x)\}$ есть выпуклое замкнутое множество, границей которого является график функции $f(x)$. Множество опорных гиперплоскостей к надграфику функции $f(x)$ есть естественная область определения её преобразованием Лежандра $f^{\ast }(p).$ Если $p$ — опорная гиперплоскость (в нашем случае касательная) к надграфику, она пересекает ось $y$ в некоторой единственной точке. Её $y$-координата, взятая со знаком минус, и есть значение функции $f^{\ast }(p)$.

Соответствие $x\to p$ определено однозначно в области, где функция $f(x)$ дифференцируема. Тогда $p$ — касательная гиперплоскость к графику $f(x)$ в точке $x$. Обратное соответствие $p\to x$ определено однозначно тогда и только тогда, когда функция $f(x)$ строго выпукла. В этом случае $x$ — единственная точка касания опорной гиперплоскости $p$ с графиком функции $f(x).$

Если функция $f(x)$ дифференцируема и строго выпукла, определено соответствие $p(x)\leftrightarrow df(x),$ сопоставляющее гиперплоскости $p$ дифференциал функции $f(x)$ в точке $x$. Это соответствие взаимно однозначно и позволяет перенести область определения функции $f^{\ast }(p)$ в пространство ковекторов $V^{\ast },$ которыми являются дифференциалы функции $f(x)$.

В общем случае произвольной невыпуклой функции геометрический смысл преобразования Лежандра сохраняется. В силу опорного принципа, выпуклая оболочка надграфика $\phi$ является пересечением полупространств, задаваемых всеми опорными гиперплоскостями, поэтому для преобразования Лежандра существенна лишь выпуклая оболочка надграфика $\phi$. Таким образом, случай произвольной функции легко сводится к случаю выпуклой. Функция даже не обязана быть дифференцируемой или непрерывной, её преобразование Лежандра всё равно будет выпуклой полунепрерывной снизу функцией.

Свойства

1. Теорема Фенхеля — Моро: для собственной выпуклой полунепрерывной снизу функции f, заданной на рефлексивном пространстве, преобразование Лежандра является инволютивным, то есть $f^{\ast \ast }(x)=f(x)$. Легко убедиться, что если выпуклым замыканием функции f является функция g, то f* = g*. Отсюда следует, что для невыпуклой функции, выпуклое замыкание которой — собственная функция,

   $f^{\ast \ast }(x)=\overline{\mathrm{c}\mathrm{o}}f(x)$,

   где $\overline{\mathrm{c}\mathrm{o}}f$ — выпуклое замыкание функции f.

2. Непосредственно из аналитического определения следует неравенство Юнга — Фенхеля:

   $f(x)+f^{\ast }(p)⩾⟨p,x⟩$, причём равенство достигается, только если p = FШаблон:'(x).

   (Часто неравенством Юнга называют частный случай этого неравенства для функции $F(x)=x^a/a$, a > 1.)

3. В вариационном исчислении (и основанной на нём лагранжевой механике) преобразование Лежандра обычно применяется к лагранжианам действия $L(t,x,\dot{x})$ по переменной $\dot{x}$. Образом лагранжиана становится гамильтониан действия H(t, x, p), а уравнения Эйлера — Лагранжа для оптимальных траекторий преобразуются в уравнения Гамильтона.
4. Используя тот факт, что $p={\mathrm{\nabla }}_{x}f$, легко показать, что ${\mathrm{\nabla }}_p{f}^{\ast }(p)=-x$.

Примеры

Степенная функция

Рассмотрим преобразование Лежандра функции $f(x)=x^n$, ($n>0$, $n\ne 1$), определённой на ${ℝ}^{\mathbb{+}}$. В случае чётного n можно рассматривать $ℝ$.

$p(x)=\frac{df}{dx}=n\cdot x^{n-1}.$

Отсюда выражаем $x=x(p)$, получаем

$x(p)={\left(\frac{p}{n}\right)}^{\frac{1}{n-1}}.$

Итого получаем преобразование Лежандра для степенной функции:

$f^{\ast }(p)=px-f(x)={\left(\frac{p}{n}\right)}^{\frac{n}{n-1}}\cdot (n-1).$

Легко проверить, что повторное преобразование Лежандра даёт исходную функцию $f(x)$.

Функция многих переменных

Рассмотрим функцию многих переменных, определённую на пространстве ${ℝ}^n$ следующего вида:

$f(x)=⟨x,Ax⟩+c.$

$A$ действительная, положительно определённая матрица, $c$ константа. Прежде всего убедимся, что сопряженное пространство, на котором определено преобразование Лежандра, совпадает с ${ℝ}^n$. Для этого нам нужно убедиться в существовании экстремума функции $\varphi =⟨p,x⟩-⟨x,Ax⟩-c$.

${\mathrm{\nabla }}_x\varphi =p-2Ax,$

${\mathrm{\nabla }}_x{\mathrm{\nabla }}_x\varphi =-2A.$

В силу положительной определённости матрицы $A$, мы получаем, что точка экстремума является максимумом. Таким образом для каждого $p$ существует супремум. Вычисление преобразования Лежандра проводится непосредственно:

$f^{\ast }(p)=\frac{1}{4}⟨p,A^{-1}p⟩-c.$

Применения

Гамильтонова механика

В лагранжевой механике система описывается функцией Лагранжа. Для типичной задачи функция Лагранжа выглядит следующим образом:

$L(q,u)=\frac{1}{2}⟨u,Mu⟩-V(q),$

$(q,u)\in {ℝ}^n\times {ℝ}^n$, со стандартными евклидовым скалярным произведением. Матрица $M$ считается действительной, положительно определённой. В том случае, когда лагранжиан не вырожден по скоростям, то есть

$p={\mathrm{\nabla }}_{u}L(q,u)\ne 0,$

можно сделать преобразование Лежандра по скоростям и получить новую функцию, называемую гамильтонианом:

$H(p,q)=p{q}^{\prime }-L=\frac{1}{2}⟨p,M^{-1}p⟩+V(q).$

Термодинамика

В термодинамике очень часто встречаются самые разные термодинамические функции, дифференциал которых выглядит в самом общем случае как

$dL=Xdx+Ydy+Zdz+\dots$

К примеру, дифференциал для внутренней энергии выглядит следующим образом:

$dE=TdS-PdV.$

Энергия тут представлена как функция переменных $S,V$. Подобные переменные называются естественными. Например, свободная энергия получается как преобразования Лежандра внутренней энергии:

$F=E-TS,$

$dF=-SdT-PdV.$

В общем случае, если мы хотим перейти от функции $L=L(x,y,z,\dots )$ к функции $L=L(X,y,z,\dots )$, то следует сделать преобразование Лежандра:

$L(X,y,z,\dots )=L-xX,$

$dL(X,y,z,\dots )=-xdX+Ydy+Zdz+\dots$

Теория поля. Функциональное преобразование Лежандра

В квантовой теории поля очень часто используется функциональное преобразование Лежандра. Исходным объектом являются связные функции Грина, которые обозначаются $W(A)$, где $A$ — некоторые внешние поля. Преобразованием Лежандра по полю А называют следующую функцию:

$\Gamma (\alpha )=W(A(\alpha ))-\int dx\cdot \alpha A.$

Знак интегрирование обычно не пишут. $\alpha$ определяется следующим выражением:

$\alpha (x)=\frac{\delta W}{\delta A(x)},$

$\delta$ означает вариационную производную. При помощи свойства вариационной производной несложно вывести следующее соотношение, связывающее $W$ и $\Gamma$. Действительно:

$\delta (x-y)=\frac{\delta A(x)}{\delta A(y)}=\int dz\frac{\delta A(x)}{\delta \alpha (z)}\frac{\delta \alpha (z)}{\delta A(y)}=-\int dz\frac{{\delta }^2\Gamma }{\delta \alpha (x)\delta \alpha (z)}\frac{{\delta }^{2}W}{\delta A(z)\delta A(y)}.$

Другими словами, функционалы $W_2=\frac{{\delta }^{2}W}{\delta A(z)\delta A(y)}$ и ${\Gamma }_2=\frac{{\delta }^2\Gamma }{\delta \alpha (x)\delta \alpha (z)}$, с точностью до знака, являются обратными друг к другу. Символически это записывают следующим образом:

$W_2\cdot {\Gamma }_2=-1.$

Литература

• Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа Шаблон:Wayback. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.
• Васильев А. Н. Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике. — Л., 1976. — 295 с.