Производящий функционал

Производящий функционал — расширение понятия производящей функции моментов для одномерного / конечномерного распределения Гаусса на континуальное распределение Гаусса.

Определение

Производящий функционал корреляционных функций $G(A)$ определяется следующим образом:

$G(A)=⟨\exp \{\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\mathrm{d}X{A}_I(X){\phi }_I(X)\}⟩,$

где $⟨\dots ⟩$ — усреднение по ансамблю. Без сокращений определение производящего функционала для нормированного на 1 континуального распределения Гаусса с квадратичной формой $K$ выглядит следующим образом:

$G(A)=\det {\left[\frac{K}{2\pi }\right]}^{1/2}\cdot \int 𝒟\phi \exp \{-\frac{1}{2}(\phi ,K\phi )+(A,\phi )\}$.

Однако же, обычно это определение записывают в сокращённом виде, опуская значки и интегрирования:

$G(A)=⟨e^{A\phi }⟩.$

Связь корреляционных функций с производящим функционалом

Поскольку определение корреляционных функций выглядит следующим образом:

$G_n(X_1,X_2,\dots X_n)=⟨\phi (X_1)\phi (X_2)\dots \phi (X_n)⟩,$

связь между производящим функционалом и корреляционными функциями получается:

$G_n(X_1,X_2,\dots X_n)={[\frac{\delta }{\delta A(X_1)}\frac{\delta }{\delta A(X_2)}\dots \frac{\delta }{\delta A(X_n)}G(A)]}_{A=0},$

где $\frac{\delta }{\delta A}$ — вариационная производная. Данная формула является полной аналогией формулы вычисления моментов через производящую функцию моментов для конечномерного распределения Гаусса.

Вычисление корреляционных функций

Для континуальных интегралов выполняется следующая формула:

$\int 𝒟\phi \exp \{-\frac{1}{2}(\phi ,K\phi )+(A,\phi )\}=\det {\left[\frac{K}{2\pi }\right]}^{-1/2}\exp \left\{\frac{(A,K^{-1}A)}{2}\right\}$.

Видно, что её левая часть — определение (с точностью до нормировки) производящего функционала $G(A)$. Тогда для парной корреляционной функции получим

$G_2(X_1,X_2)=\det {\left[\frac{K}{2\pi }\right]}^{1/2}\cdot {[\frac{\delta }{\delta A(X_1)}\frac{\delta }{\delta A(X_2)}\det {\left[\frac{K}{2\pi }\right]}^{-1/2}\exp \left\{\frac{(A,K^{-1}A)}{2}\right\}]}_{A=0}=K^{-1}(X_1,X_2).$

То есть

$G_2(X_1,X_2)=⟨\phi (X_1)\phi (X_2)⟩=K^{-1}(X_1,X_2).$

Другие виды производящих функционалов

Ясно, что определённый так как приведено выше функционал

$G(A)=⟨e^{A\phi }⟩$

сохранит производящие свойства и для других распределений не зависящих от параметра $A$. Поскольку существует целый класс физических теорий, плотность распределения $\rho [\phi ]$ в которых задаётся «почти квадратичным» функционалом действия $S[\phi ]$:

$\rho [\phi ]=C\cdot e^{-S[\phi ]},$

$S[\phi ]=\frac{1}{2}(\phi ,K\phi )+V[\phi ],$

где $V[\phi ]$ — мало, для них определяются собственные производящие функционалы с разным физическим смыслом. Они называются производящими функционалами функций Грина. Среди них: производящий функционал полных функций Грина

$G(A)=\frac{\int 𝒟\phi \exp \{-S[\phi ]+(A,\phi )\}}{\int 𝒟\phi \exp \{-\frac{1}{2}(\phi ,K\phi )\}},$Шаблон:Sfn

связных функций Грина

$W(A)=\ln G(A),$Шаблон:Sfn

и 1-неприводимых функций Грина

$\mathrm{\Gamma }(\alpha )=W(A(\alpha ))-\alpha A,\alpha (x)=\frac{\delta W(A)}{\delta A(x)}.$Шаблон:Sfn

Свои названия они получили из-за того, что их разложение согласно теории возмущений по малому параметру (т. н. константе связи) $g\sim V[\phi ]$ в диаграммном представлении состоит для $G(A)$ из всех возможных для данной теории диаграмм, для $W(A)$ только из связных, а для $\mathrm{\Gamma }(\alpha )$ только из 1-неприводимых.

См. также

• Теорема Вика для функционального интеграла
• Континуальное распределение Гаусса
• Функциональный интеграл

Литература

• Шаблон:Книга