Континуальное распределение Гаусса

Континуальное распределение Гаусса было введено в квантовой теории поля как расширение понятия распределения Гаусса для конечномерных векторов на континуальные пространства скалярных и векторных полей. Континуальное распределение активно используется в аппарате функциональных интегралов.

Определение

Рассмотрим поле ${\phi }_{i,j,k,\dots }(x_1,x_2,\dots )$ из некоторого пространства $E$, определяемого условиями задачи (как правило, задача определяет условия вроде гладкости и убывания на бесконечности). В общем случае ${\phi }_{i,j,k,\dots }(x_1,x_2,\dots )$ имеет произвольное количество значков и аргументов. Обозначив множество значков поля как $I=(i,j,k,\dots )$, а набор аргументов как $X=(x_1,x_2,\dots )$, нормальной (Гауссовой) плотностью распределения назовём функционал

$\rho \left[\phi \right]=C\exp \{-\frac{1}{2}\underset{{\mathrm{\Omega }}^2}{\iint }\mathrm{d}{X}_1\mathrm{d}{X}_2{\phi }_{I_1}(X_1)\cdot K_{I_1,I_2}(X_1,X_2)\cdot {\phi }_{I_2}(X_2)\}$,

где $\mathrm{\Omega }$ — область определения аргументов поля $X$, по наборам значков $I_1$ и $I_2$ подразумевается суммирование, $K_{I_1,I_2}(X_1,X_2)$ — ядро некоторого дифференциально-интегрального оператора $K:E⟶E$, а $C$ — нормировочная константа.

Это определение, как правило, записывают более коротко, опуская значки, аргументы и интегрирования:

$\rho \left[\phi \right]=C\exp \{-\frac{1}{2}(\phi ,K\phi )\}=C\exp \{-\frac{\phi K\phi }{2}\}$.

Средние значения

Пусть мы хотим вычислить среднее значение некоторой величины (функции состояния) $F[\phi ]$. Введём операцию усреднения $⟨\dots ⟩$

$⟨F⟩=\underset{E}{\int }𝒟\phi \rho \left[\phi \right]F[\phi ]$

В правой части выражения написан функциональный (континуальный) интеграл (подробнее см. Функциональный интеграл).

Вычисление континуальных Гауссовых интегралов

Для континуальных Гауссовых интегралов работает обобщение формулы для n-мерных Гауссовых интегралов на континуальный случай:

$\int 𝒟\phi \exp \{-\frac{1}{2}(\phi ,K\phi )+(A,\phi )\}=\det {\left[\frac{K}{2\pi }\right]}^{-1/2}\exp \left\{\frac{(A,K^{-1}A)}{2}\right\}$.

Условие и константа нормировки

Вводя условие нормировки

$\int 𝒟\phi \rho \left[\phi \right]=1$

и используя формулу из предыдущего пункта, получим

$C=\det {\left[\frac{K}{2\pi }\right]}^{1/2}$.

См. также

• Теорема Вика для функционального интеграла
• Производящий функционал
• Функциональный интеграл

Литература

• Шаблон:Книга