Теорема Вика для функционального интеграла

Теорема Вика для функционального интеграла — это обобщение теоремы Вика для многочлена от координат многомерного Гауссового вектора на случай континуального распределения Гаусса. Широко используется в аппарате функциональных интегралов.

Формулировка

Шаблон:Theorem Пусть случайное поле $\phi (X)$ отвечает континуальному распределению Гаусса с нулевым матожиданием, то есть $⟨\phi (X)⟩=0$. Тогда для средних значений произведений величин вида ${\phi }_i=\phi (X_i)$ верно следующее:

$⟨{\phi }_1\cdot \dots \cdot {\phi }_N⟩=\sum ⟨{\phi }_{i_1}{\phi }_{j_1}⟩\cdot \dots \cdot ⟨{\phi }_{i_{N/2}}{\phi }_{j_{N/2}}⟩,$

если $N$ чётное, и

$⟨\prod _{i\in I}{\phi }_i⟩=0,$

если $N$ нечётное.

Под $⟨{\phi }_{i_1}{\phi }_{j_1}⟩\cdot \dots \cdot ⟨{\phi }_{i_{N/2}}{\phi }_{j_{N/2}}⟩$ подразумевается разбиение множества $\{1,\dots ,N\}$ на $N/2$ пар $(i_k,j_k)$, суммирование же идёт по всем возможным различным разбиениям $\{1,\dots ,N\}$ на такие пары. Шаблон:/theorem

Примеры

Для произведения 4 элементов: $⟨{\phi }_1\cdot {\phi }_2\cdot {\phi }_3\cdot {\phi }_4⟩=⟨{\phi }_1\cdot {\phi }_2⟩\cdot ⟨{\phi }_3\cdot {\phi }_4⟩+⟨{\phi }_1\cdot {\phi }_3⟩\cdot ⟨{\phi }_2\cdot {\phi }_4⟩+⟨{\phi }_1\cdot {\phi }_4⟩\cdot ⟨{\phi }_2\cdot {\phi }_3⟩$.

Для произведения 6 элементов:

$⟨{\phi }_1\cdot {\phi }_2\cdot {\phi }_3\cdot {\phi }_4\cdot {\phi }_5\cdot {\phi }_6⟩=\sum ⟨{\phi }_i\cdot {\phi }_j⟩\cdot ⟨{\phi }_k\cdot {\phi }_l⟩\cdot ⟨{\phi }_m\cdot {\phi }_n⟩$,

причём суммирование производится по всем возможным спариваниям $(i,j),(k,l),(m,n)$ выбранным из множества $\{1,2,3,4,5,6\}$, например, $(1,3),(2,5),(4,6)$ или $(1,5),(2,4),(3,6)$ (всего таких спариваний 15).

Аналогично для случаев 8 и более элементов

Использование

Известно, что если Гауссова плотность распределения описывается формулой

$\rho \left[\phi \right]=C\exp \{-\frac{\phi K\phi }{2}\}$,

то

$⟨{\phi }_1\cdot {\phi }_2⟩=⟨\phi (X_1)\cdot \phi (X_2)⟩=K^{-1}(X_1,X_2)$.

То есть любую корреляционную функцию $G(X_1,\dots ,X_N)=⟨\phi (X_1),\dots ,\phi (X_N)⟩$ можно по теореме Вика выразить через комбинации $K^{-1}$, то есть, например

$G(X_1,X_2,X_3,X_4)=K^{-1}(X_1,X_2)\cdot K^{-1}(X_3,X_4)+K^{-1}(X_1,X_3)\cdot K^{-1}(X_2,X_4)+K^{-1}(X_1,X_4)\cdot K^{-1}(X_2,X_3)$.

См. также

• Континуальное распределение Гаусса
• Производящий функционал
• Функциональный интеграл

Литература

• Шаблон:Книга

Шаблон:Нет иллюстраций