Надграфик

Функция (её график выделен синим) и её надграфик (закрашено зелёным).

Надгра́фик (эпиграф) — множество точек, лежащих над графиком данной функции.

Формально, для функции $f:M\to ℝ$ надграфиком называется множество:

$\mathrm{epi}f\equiv \{(x,y)\in M\times ℝ\mid y⩾f(x)\}$.

Надграфик включает в себя график функции $f$, то есть $\mathrm{epi}f\supset \mathrm{\Gamma },$ где:

$\mathrm{\Gamma }\equiv \left\{\right(x,f(x))\in M\times ℝ\mid x\in M\}$

Надграфик функции является выпуклым множеством тогда и только тогда, когда она сама является выпуклой.

Надграфик функции является замкнутым множеством тогда и только тогда, когда сама функция является полунепрерывной снизу.

Шаблон:ЯкорьДвойственное понятие — подграфик (гипограф), для функции $f:M\to ℝ$ определяется как множество точек, лежащих под графиком:

$\mathrm{hyp}f\equiv \{(x,y)\in M\times ℝ\mid y⩽f(x)\}$.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Rockafellar Wets Variational Analysis 2009 Springer
• Rockafellar, Ralph Tyrell (1996), Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, NJ. Шаблон:ISBN.