Полунепрерывная функция

полунепрерывная сверху функция.

полунепрерывная снизу функция.

Полунепреры́вность в математическом анализе — это свойство функции более слабое, чем непрерывность. Функция полунепрерывна снизу в точке, если значения функции в близких точках не сильно меньше значения функции в ней. Функция полунепрерывна сверху в точке, если значения функции в близких точках не сильно превышают значения функции в ней.

Определения

• Пусть дано полное метрическое пространство $(X,\varrho ).$ Вещественнозначная функция $f:X\to ℝ$ называется полунепреры́вной сни́зу (све́рху) в точке $x_0\in X$, если

$\underset{x\to x_0}{\underset{―}{\lim }}f(x)\ge f(x_0)(\underset{x\to x_0}{\bar{\lim }}f(x)\le f(x_0)).$

• Функция $f$ называется полунепрерывной снизу (сверху) на $M\subset X$, если она полунепрерывна снизу (сверху) для всех $x_0\in M$.

Свойства

• Функция $f:X\to ℝ$ полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда множество $\{x\in X\mid f(x)>a\}$ открыто при любом $a\in ℝ.$
• Пусть $f,g:X\to ℝ$ суть две полунепрерывные снизу (сверху) функции. Тогда их сумма $f+g$ также полунепрерывна снизу (сверху).
• Предел монотонно возрастающей (убывающей) последовательности полунепрерывных снизу (сверху) в точке $x_0$ функций есть полунепрерывная функция снизу (сверху) в $x_0$. Более точно пусть дана последовательность полуненпрерывных снизу (сверху) функций $f_n:X\to ℝ,n\in \mathbb{N}$ таких, что $f_{n+1}(x)\ge (\le )f_n(x)\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }x\in X.$ Тогда если существует предел $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{f}_n(x)=f(x)\mathrm{\forall }x\in X,$ то $f$ полунепрерывна снизу (сверху).
• Если $u:X\to ℝ$ и $v:X\to ℝ$ есть полунепрерывные функции соответственно снизу и сверху соответственно, и на всём пространстве выполнено
       $-\mathrm{\infty }<v(x)\le u(x)<\mathrm{\infty },x\in X,$
  то существует непрерывная функция $f:X\to ℝ$, такая что
      $v(x)\le f(x)\le u(x),x\in X.$
• (Теорема Вейерштрасса) Пусть дано компактное подмножество $K\subset X.$ Тогда полунепрерывная снизу (сверху) функция $f:K\to ℝ$ достигает на $K$ своего минимума (максимума).

Примеры

• Целая часть $x\mapsto [x]$ является полунепрерывной сверху функцией;
• Дробная часть $x\mapsto \{x\}$ полунепрерывная снизу.
• Индикатор ${\mathrm{𝟏}}_U$ произвольного открытого в топологии, порождённой метрикой $\varrho$, множества $U\subset X$ является полунепрерывной снизу функцией.
• Индикатор ${\mathrm{𝟏}}_V$ произвольного замкнутого множества $V\subset X$ является полунепрерывной сверху функцией.

Литература

• Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, 3 изд., М., 1974;
• Сакс С, Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949.