Теорема Фенхеля — Моро
Теорема Фенхеля — Моро — необходимое и достаточное условие того, что вещественнозначная функция равна своему двоекратному выпуклому сопряжению. При этом для любой функции верно, что Шаблон:SfnШаблон:Sfn.
Утверждение можно рассматривать как обобщение Шаблон:IwШаблон:Sfn. Она используется в теории двойственности для доказательства сильной двойственности (через Шаблон:Iw).
Теорема доказана для конечномерного случая Вернером Фенхелем в 1949 году и для бесконечномерного — Жан-Жаком Моро в 1960 году[1].
Утверждение теоремы
Пусть будет хаусдорфовым локально выпуклым пространством. Для любой функции со значениями на расширенной числовой прямой следует, что , где — выпуклое сопряжение к , тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:
- является Шаблон:Не переведено 5 полунепрерывной снизу и выпуклой функцией,
- , или
- Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.
В геометрической формулировке теорема утверждает, что необходимым и достаточным условием того, чтобы надграфик функции был пересечением надграфиков аффинных функций, является выпуклость и замкнутость этой функции[1].