Локально выпуклое пространство

Локально выпуклое пространство — линейное топологическое пространство с системой полунорм, удовлетворяющей некоторым условиям.

Определение

Линейное топологическое пространство $X$ называется локально выпуклым пространством, если существует семейство полунорм $\mu$ на $X$, удовлетворяющее двум условиям:

• Если $p(x)=0$ для каждого $p\in \mu$, то $x=0$.
• Если для произвольной точки $x_0$ пространства $X$, любой конечной системы полунорм $p_1,\mathrm{...},p_n$ из $\mu$ и любой конечной системы положительных вещественных чисел ${ϵ}_1,\mathrm{...},{ϵ}_n$ рассмотреть (выпуклые) множества, состоящие из элементов $x\in X$, удовлетворяющих условию $p_i(x-x_0)<{ϵ}_i$ с $i=1,\mathrm{...},n$, то все такие множества образуют базу топологии в $X$Шаблон:Sfn.

Свойства

• Последовательность $\left\{x_n\right\}$ точек локально выпуклого пространства $X$ сходится к $x\in X$ в том и только том случае, если для каждой полунормы $p\in \mu$ выполняется соотношение $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}p(x_n-x)=0$.

Литература

• Шаблон:Книга