Аксиоматика Бахмана

Аксиоматика Бахмана — система аксиом нейтральной и Евклидовой геометрий, построенная на понятии групп движений. Предложенная Фридрихом Бахманом.

Обозначения

Переместительность двух элементов в группе, то есть выполнение тождества $a\cdot b=b\cdot a$ будет обозначаться $a|b$; при этом $a,b|c,d$ означает одновременное выполнение $a|c$, $a|d$, $b|c$ и $b|d$.

Дана группа $𝔊$ с выделенной инвариантной системой образующих $𝔖$ состоящая из инволютивных элементов. Элементы из $𝔖$ обозначаются малыми латинскими буквами. Те инволютивные элементы из $𝔊$, которые представимы как произведение двух элементов из $𝔖$ (то есть элементы вида $a\cdot b$, где $a,b\in 𝔖$) обозначаются большими латинскими буквами.

Нейтральная геометрия

Аксиома 1. Для любых $P$, $Q$ найдется $g$ такой, что $P,Q|g$.

Аксиома 2. Из $P,Q|g,h$ следует, что $P=Q$ или $g=h$.

Аксиома 3. Если $a,b,c|P$, то существует элемент $d$ такой,что $a\cdot b\cdot c=d$.

Аксиома 4. Если $a,b,c|g$, то существует элемент $d$ такой,что $a\cdot b\cdot c=d$.

Аксиома D. Существуют $g,h,j$ такие, что $g|h$, и не имеет места ни одно из соотношений $j|g$, $j|h$, $j|g\cdot h$.

Связь с обычными аксиомами

Этой системе аксиом удовлетворяют группы евклидовой и неевклидовых плоскостей, если принять за $𝔖$ множество осевых симметрии. При этом те инволютивные элементы группы, которые представимы как произведение двух элементов из $𝔖$, окажутся при этом центральными симметриями.

Таким образом множество $𝔖$ можно отождествить с множеством прямых на плоскости, а множество инволютивных элементов группы представимых как произведение двух элементов из $𝔖$ с множеством точек.

При этом,

• соотношение $P|a$ означает то что точка $P$ лежит на прямой $a$.
• соотношение $a|b$ означает то что прямая $a$ перпендикулярна прямой $b$;
  • в этом случае $P=a\cdot b$ есть точка пересечения $a$ и $b$.

Евклидова геометрия

Система для евклидовой геометрии пополняется двумя аксиомами

Аксиома R. Из $a,b|c$ и $a|d$ следует $b|d$.

Аксиома V. Для любых $a,b$ всегда найдется $C$, что $a,b|C$, или найдется такая прямая $c$, что $a,b|c$.