Операторная норма

Операторная норма — норма, определённая на ограниченных линейных операторах из одного нормированного пространства в другое. Также называется подчинённой или индуцированной нормой.

Операторная норма превращает само линейное пространство операторов в нормированное пространство. Соответственная структура линейного топологического пространства операторов называется топологией нормы, или операторной топологией (без уточнения).

Определение и обозначения

В дальнейшем через Шаблон:Mvar будет обозначено основное поле, являющееся нормированным полем. Обычно Шаблон:Math или Шаблон:Math.

Пусть Шаблон:Math и Шаблон:Math — два нормированных линейных пространства над Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar — линейный оператор из Шаблон:Math в Шаблон:Math. Если существует такое неотрицательное число Шаблон:Mvar, что

$\mathrm{\forall }x\in V_1:\Vert Tx\Vert ⩽M\Vert x\Vert ,$

то оператор Шаблон:Mvar называется ограниченным, а наименьшее такое возможное Шаблон:Mvar — его нормой Шаблон:Math. Если Шаблон:Math конечномерно, то всякий оператор ограничен.

Норма оператора Шаблон:Mvar может быть вычислена по формулеШаблон:Sfn:

$\begin{array}{cc}\Vert T\Vert & =\sup \{\Vert Tx\Vert :x\in V_1,\Vert x\Vert =1\}\\ & =\sup \{\frac{\Vert Tx\Vert }{\Vert x\Vert }:x\in V_1,x\ne 0\}.\end{array}$

Если пространство Шаблон:Math состоит из одного нуля, то приведённая формула не работает, но Шаблон:Math поскольку Шаблон:Math.

Линейное пространство ограниченных операторов из Шаблон:Math в Шаблон:Math обозначается $L(V_1,V_2)$. В случае когда $V_1=V_2=V$ пишут $L(V)$ вместо $L(V,V)$. Если $H$ — гильбертово пространство, то иногда пишут $B(H)$ вместо $L(H)$.

Свойства

Ограниченность и непрерывность

Шаблон:Main Линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогдаШаблон:Нет АИ и только тогда, когда он непрерывен.

Норма

На $L(V_1,V_2)$ можно ввести структуру векторного пространства с операциями $(T+S)x=Tx+Sx$ и $T(\alpha x)=\alpha (Tx)$, где $T,S\in L(V_1,V_2)$, $x\in V_1$, а $\alpha \in K$ — произвольный скаляр. Операторная норма делает линейное пространство ограниченных операторов нормированным пространством, то есть удовлетворяет соответственным аксиомам:

• $\Vert T\Vert ⩾0$ (по определению)
• $\Vert T\Vert =0$ тогда и только тогда, когда $T=0$ (следует из определения нормированного пространства)
• $\Vert \alpha T\Vert =|\alpha |\Vert T\Vert$ для всех $\alpha$ из $K$
• $\Vert S+T\Vert ⩽\Vert S\Vert +\Vert T\Vert$ для всех ограниченных операторов $S$ и $T$ из Шаблон:Math в Шаблон:Math.

Субмультипликативность

Если Шаблон:Mvar — оператор из Шаблон:Math в Шаблон:Math, а Шаблон:Mvar — оператор из Шаблон:Math в Шаблон:Math, то их произведение Шаблон:Math определяется как композиция функций Шаблон:Math. Операторная норма удовлетворяют свойству субмультипликативности:

$\Vert ST\Vert \le \Vert S\Vert \Vert T\Vert$.

В случае Шаблон:Math, ограниченные операторы можно перемножать не выходя из пространства $L(V)$, и потому операторная норма превращает операторную алгебру $L(V)$ в нормированную алгебру.

Полнота

Пространство $L(V_1,V_2)$ является банаховым тогда и только тогда, когда Шаблон:Math нульмерно или Шаблон:Math банахово.

Если Шаблон:Mvar — банахово пространство, то $L(V)$ с введённым выше умножением является банаховой алгеброй.

Примеры использования

Между конечномерными пространствами

Операторные нормы (для различных норм на векторах) составляют важный класс возможных норм на пространствах матриц.

На гильбертовых пространствах

Шаблон:Main Алгебра ограниченных операторов $L(H)$ (на гильбертовом пространстве Шаблон:Mvar) с операторной нормой является C*-алгеброй с операцией инволюции, задаваемой эрмитовым сопряжением. При этом, алгебра компактных операторов является её замкнутой *-подалгеброй и даже идеалом.

Сравнения

Операторной нормы с другими нормами

Шаблон:Main На операторах на гильбертовом пространстве определены и другие, более сильные, нормы, например норма Гильберта — Шмидта. В бесконечномерном случае, такие нормы не определены (бесконечны) на некоторых ограниченных операторах.

Топологии нормы с другими

В конечномерном случае (когда оба пространства Шаблон:Math и Шаблон:Math конечномерны), $L(V_1,V_2)$ тоже конечномерно и все топологии (и нормы) на таком линейном пространстве эквивалентны. Однако, когда оба пространства Шаблон:Math и Шаблон:Math бесконечномерны, на $L(V_1,V_2)$ возможны более слабые (грубые) топологии:

• Сильная операторная топология; название вводит в заблуждение, так как она слабее (грубее) топологии нормы.
• Шаблон:Iw; ещё слабее (грубее).

Литература

• Мерфи Дж. С*-алгебры и теория операторов. М.: Факториал, 1997. 336с. ISBN 5-88688-016-X
• Шаблон:Книга