Нормальный оператор

Нормальный оператор — линейный ограниченный оператор в гильбертовом пространстве, перестановочный со своим сопряжённым: $N^{*}N=N{N}^{*}$. Частными случаями нормальных операторов являются самосопряжённые операторы: $A=A^{*}$ и унитарные операторы: $U^{-1}=U^{*}$. Для нормальных операторов выполняется спектральная теорема.

Разложения

• Аддитивное разложение. $N=X+iY$, где $X,Y$ — перестановочные самосопряжённые операторы,

$X=\frac{1}{2}(N+N^{*}),Y=\frac{1}{2i}(N-N^{*}).$

• Мультипликативное (полярное) разложение. $N=RU=UR$, где $R=\sqrt{N^{*}N}$ — положительный самосопряжённый оператор, $U$ — унитарный оператор. Операторы $R$ и $U$ перестановочны как между собой, так и с любым линейным оператором, перестановочным одновременно с $N$ и $N^{*}$.

Аддитивное разложение аналогично выражению комплексного числа $z$ через его действительную и мнимую части: $z=x+iy$, а мультипликативное разложение — представлению в показательной форме: $z=r{e}^{i\phi }.$Шаблон:Sfn

Свойства

• Если оператор $N$ нормален, то операторы $N^{*}$, $\alpha N+\beta I,\alpha ,\beta \in ℂ$, а также обратный оператор $N^{-1}$ (если он существует), тоже нормальны.Шаблон:Sfn
• Линейный непрерывный оператор $N$ в гильбертовом пространстве $H$ нормален тогда и только тогда, когда $\Vert Nx\Vert =\Vert N^{*}x\Vert$ для каждого $x\in H$.
• $\text{Ker}N=\text{Ker}{N}^{*}=\text{Im}{N}^{\perp }$. Здесь $\text{Ker}N$ — ядро, $\text{Im}N$ — образ оператора $N$.
• Если $Nx=\alpha x$ при некотором $x\in H$ и $\alpha \in ℂ$, то $N^{*}x=\overline{\alpha }x$.
• Собственные подпространства, соответствующие различным собственным значениям нормального оператора, ортогональныШаблон:Sfn.
• Теорема о перестановочности. Пусть $M,N,T$ — линейные непрерывные операторы, причем операторы $M$ и $N$ нормальны. Если $MT=TN$, то $M^{*}T=T{N}^{*}$. В частности, если оператор $T$ перестановочен с нормальным оператором $N$, то он перестановочен и с сопряжённым $N^{*}$.Шаблон:Sfn
• $\Vert N\Vert =\sup \{|(Nx,x)|:x\in H,\Vert x\Vert \le 1\}$ Шаблон:Sfn
• Нормальный оператор является самосопряжённым тогда и только тогда, когда его спектр лежит на вещественной оси. Нормальный оператор является унитарным тогда и только тогда, когда его спектр лежит на единичной окружности.Шаблон:Sfn
• Подобные нормальные операторы унитарно эквивалентны, то есть если $M=TN{T}^{-1}$, где $M,N$ — нормальные операторы, а оператор $T$ обратим, то $M=UN{U}^{-1}$, где $U$ — унитарный оператор.Шаблон:Sfn
• $\Vert N^m\Vert =\Vert N{\Vert }^m$, следовательно, спектральный радиус нормального оператора совпадает с его нормой.Шаблон:Sfn

Спектральная теорема

Шаблон:Рамка Любому нормальному оператору $N$ соответствует семейство проекционных операторов $\{E(\delta )\}$, являющихся аддитивной и мультипликативной функцией прямоугольника, таким образом, что

$N=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}zE(dxdy),N^{*}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\overline{z}E(dxdy),$

и вообще

$q(N,N^{*})=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}q(z,\overline{z})E(dxdy),$

где $q(z,\overline{z})$ — произвольный многочлен от $z=x+iy$ и $\overline{z}=x-iy$; при любом фиксированном прямоугольнике $\delta$ оператор $E(\delta )$ является пределом некоторой последовательности многочленов от операторов $N$ и $N^{*}$Шаблон:Sfn. Шаблон:Конец рамки

На основе спектрального разложения нормальных операторов строится функциональное исчисление для функций

$f(N)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(z)E(dxdy).$Шаблон:Sfn

Случай конечномерного пространства

В конечномерном унитарном пространстве в ортонормированном базисе нормальному оператору отвечает нормальная матрица. Нормальный оператор также обладает следующими свойствами.

• Линейный оператор тогда и только тогда является нормальным, когда он имеет ортонормированную систему собственных векторов.
• Для нормального оператора $N$ каждый из операторов $N$ и $N^{*}$ представим в виде многочлена от другого из операторов; при этом эти два многочлена определяются заданием собственных значений оператора $N$.
• Если $S$ — инвариантное подпространство относительно оператора $N$, то его ортогональное дополнение $S^{\perp }$ тоже является инвариантным подпространством для $N$.
• Матрица $N$ является нормальной тогда и только тогда, когда она унитарно-подобна диагональной матрице, то есть $N=UD{U}^{-1},$ где $U$ — унитарная матрица, $D$ — диагональная матрица.Шаблон:Sfn

Неограниченные операторы

Понятие нормального оператора обобщается на неограниченные операторы. Линейный оператор $N$ (не обязательно ограниченный) в гильбертовом пространстве $H$ называется нормальным, если его область определения $D(N)$ плотна в $H$, он замкнут и удовлетворяет условию $N^{*}N=N{N}^{*}$. Для нормального оператора $D(N^{*})=D(N)$, $\Vert Nx\Vert =\Vert N^{*}x\Vert$ для любого $x\in D(N)$. Обобщаются и некоторые другие свойства нормального оператора, в том числе спектральная теорема.Шаблон:Sfn

См. также

• Самосопряжённый оператор
• Унитарный оператор
• Спектральная теорема

Литература

• Шаблон:Книга:Математическая энциклопедия
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга