Полярное разложение

Полярное разложение — представление квадратной матрицы $A$ в виде произведения эрмитовой $S$ и унитарной $U$ матриц $A=SU$. Является аналогом разложения любого комплексного числа в виде $z=|z|e^{i\phi }$.

Свойства

• Любую квадратную матрицу $A$ над $ℝ$ (над $ℂ$) можно представить в виде $A=SU$, где $S$ — симметрическая (эрмитова) неотрицательно определённая матрица, $U$ — ортогональная (унитарная) матрица. Если матрица $A$ невырождена, то такое представление единственноШаблон:Sfn.
• Любую матрицу $A$ можно представить в виде $A=UDW$, где $U$ и $W$ — унитарные матрицы, $D$ — диагональная матрицаШаблон:Sfn.
• Если $A=S_1{U}_1=U_2{S}_2$ — полярные разложения невырожденной матрицы $A$, то $U_1=U_2$Шаблон:Sfn.

Существование

Докажем, что любую квадратную матрицу $A$ над $ℝ$ можно представить в виде произведения симметрической неотрицательно определённой матрицы и ортогональной матрицы.

Так как ${\left(A^{T}A\right)}^T=A^{T}A$, то матрица $A^{T}A$ симметричная. Существует базис, который можно обозначить через $\overrightarrow{e}$, состоящий из ортонормированных собственных векторов матрицы $A^{T}A$, расположенных в порядке убывания собственных значений.

Так как $(A^T(x),y)=(x,A(y))$, то для любых векторов $e_i$ и $e_j$ базиса $e$ выполняется ${\lambda }_i(\overrightarrow{e_i},\overrightarrow{e_j})=(A^{T}A(\overrightarrow{e_i}),\overrightarrow{e_j})=(A(\overrightarrow{e_i}),A(\overrightarrow{e_j}))$. Значит, образ базиса $e$ относительно преобразования $A$ ортогональный (сохраняются углы между векторами базиса, но не их длины). При проведении преобразования $A$ векторы $\overrightarrow{e_i}$ базиса $e$ преобразуются в векторы $\sqrt{{\lambda }_i}\overrightarrow{e_k}$.

Сингулярные числа матрицы $A$ — квадратные корни $\sqrt{{\lambda }_i}$ из собственных значений матрицы $A^{T}A$.

Отсюда очевидно, что ${\lambda }_i\ge 0$. Так как в рассматриваемом базисе векторы расположены в порядке убывания собственных значений, то существует такое число $r$, что $\mathrm{\forall }i\le r\to {\lambda }_i>0$.

Пусть $f$ — система векторов $\overrightarrow{f_i}=\frac{\overrightarrow{A(e_i)}}{\sqrt{{\lambda }_i}}$ при $i<r$, дополненная до ортонормированного базиса произвольным образом. Пусть $Q$ — матрица перехода из базиса $e$ в базис $f$. Так как оба базиса ортонормированные, то матрица $Q$ ортогональная. Так как $Q^{-1}A(e_i)=Q^{-1}\left(\sqrt{{\lambda }_i}{f}_i\right)=\sqrt{{\lambda }_i}{e}_i$, то существует ортонормированный базис из собственных векторов матрицы $Q^{-1}A$. Это значит, что матрица $Q^{-1}A$ в базисе $\overrightarrow{e}$ имеет диагональный вид, а потому в произвольном ортонормированном базисе симметрична.

Итак, $A=Q{Q}^{-1}A=Q(Q^{-1}A)$, где матрица $Q$ ортогональная, а матрица $Q^{-1}A$ симметричная.

Литература

• Шаблон:Книга