Положительный оператор (гильбертово пространство)

Положительный оператор в гильбертовом пространстве — линейный оператор $A$ такой, что $(Ax,x)\ge 0$ для любого $x$ из гильбертова пространства. Для положительного оператора используют обозначение $A\ge 0$Шаблон:Sfn. Иногда нулевой оператор не относят к положительным операторам и пишут $A>0$, если оператор $A$ — положительный, и $A\ge 0$, если $A$ — положительный или нулевойШаблон:Sfn.

Ограниченный положительный оператор является самосопряжённым, и его спектр лежит на положительной полуоси $[0,\mathrm{\infty })$, причём это необходимое и достаточное условиеШаблон:Sfn. Неограниченный положительный оператор симметричен и допускает самосопряжённое расширение, также являющееся положительным оператором.

Свойства

Для ограниченных линейных операторов выполняются следующие свойства.

• Если оператор $A\ge 0$ и вещественное число $\alpha \ge 0$, то $\alpha A\ge 0$.
• Если $A\ge 0$ и обратный оператор $A^{-1}$ существует, то $A^{-1}\ge 0$.
• $A^{*}A\ge 0,A{A}^{*}\ge 0$ для любого линейного оператора $A$. В частности, $A^2\ge 0$ для любого самосопряжённого оператора $A$. Следовательно, примером положительного оператора может служить любой оператор проектированияШаблон:Sfn.
• Произведение двух перестановочных положительных операторов также положительный операторШаблон:Sfn.
• Для положительного оператора $A$ и любых элементов $x,y$ гильбертова пространства выполняется обобщённое неравенство Шварца:

$|(Ax,y){|}^2\le (Ax,x)(Ay,y)$Шаблон:Sfn.

Квадратный корень

У каждого ограниченного положительного оператора $A$ существует единственный положительный квадратный корень, то есть такой оператор $B$, что $B^2=A$. Если оператор $A$ обратим, то $B$ тоже обратим. Квадратный корень $B$ перестановочен с любым оператором, перестановочным с $A$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Полярное разложение

Шаблон:Main Любой ограниченный линейный оператор $T$ в гильбертовом пространстве обладает разложением $T=UP$, где $P$ — положительный оператор, $U$ — частичная изометрия. Если $T$ — нормальный оператор, то оператор $U$ в полярном разложении унитарный.

Отношение порядка

На множестве симметричных операторов вводится частичное отношение порядка: $A\ge B$ или $B\le A$, если оператор $A-B$ — положительный, иначе говоря, $(Ax,x)\ge (Bx,x)$ для любого $x$ из гильбертова пространства. Данное отношение порядка обладает следующими свойствами.

• Если $A\ge B$ и $C\ge D$, то $A+C\ge B+D$.
• Если $A\ge B$ и $B\ge C$, то $A\ge C$.
• Если $A\ge B$ и $c>0$, то $cA\ge cB$.
• Любая монотонная ограниченная последовательность симметричных операторов сходится к некоторому симметричному операторуШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Полуограниченный оператор

Симметричный оператор $S$ называется полуограниченным снизу, если существует действительное число $c$ такое, что

$(Sx,x)\ge c(x,x)$

для любого $x$ из области определения оператора $S$; наибольшее из всех значений $c$, для которых выполняется это неравенство, называется нижней гранью оператора $S$. Аналогично определяется оператор, полуограниченный сверху, и его верхняя граньШаблон:Sfn.

Положительный оператор является частным случаем полуограниченного снизу оператора. С другой стороны, любой полуограниченный оператор может быть выражен через положительный оператор $P$ посредством одной из следующих формул:

$S=P+cI,S=-P+cI,$

где $I$ — единичный операторШаблон:Sfn.

Расширение по Фридрихсу. Всякий полуограниченный симметричный оператор $S$ (в частности, положительный оператор) может быть расширен до некоторого полуограниченного самосопряжённого оператора $A$, причём оператор $A$ будет иметь ту же (верхнюю или нижнюю) грань, что и $S$Шаблон:Sfn.

Случай конечномерного пространства

Симметрический оператор $S$ (оператор с симметричной матрицей) в евклидовом пространстве $R$ называется неотрицательным, если $(Sx,x)\ge 0$ для любого $x\in R$. В этом случае квадратичная форма $(Sx,x)$ называется неотрицательной, а матрица оператора $S$ — неотрицательно определённой.

Симметрический оператор $S$ называется положительно определённым, если для любого вектора $x\ne 0$ из $R$ $(Sx,x)>0$. В этом случае квадратичная форма $(Sx,x)$ и матрица оператора $S$ называются положительно определёнными.

Определить, является ли матрица положительно или неотрицательно определённой, можно при помощи критерия Сильвестра.

Пример

Примером полуограниченного снизу оператора может служить оператор Штурма-Лиувилля

$Au(x)=-(p(x)u^{\prime }(x){)}^{\prime }+q(x)u(x),$

где

$p(x)\ge 0,q(x)\ge q_0,(0\le x\le 1),$

если его рассматривать в пространстве $L_2(0,1)$, отнеся к области определения функции $u(x)$, дважды непрерывно дифференцируемые и удовлетворяющие условиям

$u(0)=0,u^{\prime }(1)+hu(1)=0,$

где $h\ge 0$ — некоторая постоянная; функции $p(x),p^{\prime }(x),q(x)$ также предполагаются непрерывными. Действительно, можно проверить прямым подсчётом, что

$(Au,u)=hp(1)|u(1){|}^2+\underset{0}{\overset{1}{\int }}p(x)|u^{\prime }(x){|}^{2}dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}q(x)|u(x){|}^{2}dx\ge \underset{0}{\overset{1}{\int }}{q}_0|u(x){|}^{2}dx=q_0(u,u).$.

Если $q_0\ge 0$, то оператор положительныйШаблон:Sfn.

См. также

• Эрмитов оператор
• Квадратичная форма

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга