Бесконечномерное пространство

Бесконечномерное пространство — векторное пространство c бесконечно большой размерностью. Изучение бесконечномерных пространств и их отображений является главной задачей функционального анализа. Наиболее простыми бесконечномерными пространствами являются гильбертовы пространства, наиболее близкие по свойствам к конечномерным евклидовым пространствам.

Определение

Линейное векторное пространство называется бесконечномерным, если для любого целого числа $N>0$ в нем найдется линейно независимая система, состоящая из $N$ векторовШаблон:Sfn.

Базис

Для бесконечномерного пространства существуют различные определения базиса. Так, например, базис Гамеля определяется, как множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их конечной линейной комбинации единственным образом.

Для топологических векторных пространств можно определить базис Шаудера. Система элементов $\left\{e_k\right\}$ образует базис Шаудера пространства $E$, если каждый элемент $x\in E$ представим единственным образом в виде сходящегося ряда $x=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_k{e}_k$Шаблон:Sfn. Базис Шаудера существует не всегда.

Примеры

• Линейное пространство непрерывных на данном промежутке функцийШаблон:Sfn.
• Гильбертово пространство, образованное бесконечной последовательностью чисел $x=({\xi }_1,...,{\xi }_k,...)$ со сходящейся суммой квадратов $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\xi }_n^2<\mathrm{\infty }$Шаблон:Sfn.
• Множество всех многочленов (над дан­ным по­лем)Шаблон:Sfn.
• Пространство квадратично-суммируемых последовательностей

Свойства

• Бесконечномерное пространство не изоморфно никакому конечномерномуШаблон:Sfn.

См. также

• Конечномерное пространство

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга