Сжимающее отображение

Сжимающее отображение — отображение метрического пространства в себя, уменьшающее расстояние между любыми точками в некотором сильном смысле.

Определение

Пусть на метрическом пространстве $(𝕄,d)$ определено отображение $A:𝕄\to 𝕄$. Оно называется сжимающим на $𝕄$, если существует такое неотрицательное число $\alpha <1$, что для любых двух точек $x,y\in 𝕄$ выполняется неравенство

$d(Ax,Ay)⩽\alpha d(x,y)$.

Число $\alpha$ часто называют коэффициентом сжатия.

Другими словами, сжимающее отображение — это липшицево отображение метрического пространства в себя, константа Липшица которого строго меньше единицы.

Теорема Банаха о сжимающем отображении

Пусть $(𝕄,d)$ — полное метрическое пространство. Пусть $A:𝕄\to 𝕄$ — сжимающее отображение $𝕄$ в себя. Тогда уравнение $x=Ax$ имеет единственное решение $x^{\ast }\in 𝕄$, причём

$x^{\ast }=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n$

для всякой последовательности $\{x_n{\}}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$, удовлетворяющей рекуррентному соотношению $x_{n+1}=A{x}_n$, при любом выборе начальной точки $x_0$ из $𝕄$. Более того, если $\alpha$ — коэффициент сжатия отображения $A$, то справедлива следующая оценка погрешности вычисления $x^{*}$ с помощью элементов последовательности $\{x_n{\}}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$:

$d(x_n,x^{*})⩽\frac{{\alpha }^n}{1-\alpha }d(x_0,x_1).$

Свойства

• (Непрерывность) Пусть $A$ — сжимающее отображение метрического пространства $(𝕄,d)$. Тогда $A$ — непрерывная функция на $𝕄$.

• (Неподвижная точка) По теореме Банаха у сжимающего отображения на полном метрическом пространстве существует единственная неподвижная точка:

$x^{*}:A{x}^{*}=x^{*}$.

• (Итерационная последовательность) Если взять произвольный элемент $x$ полного метрического пространства и рассмотреть последовательность элементов $x,Ax,A^{2}x,....$, то эта итерационная последовательность будет сходиться к неподвижной точке отображения $A$.

Применение

• Численное решение уравнений
• Доказательство теорем существования и единственности в дифференциальных и интегральных уравнениях.

Ссылки

• Шаблон:Книга
• Зорич В. А. Математический анализ, — Любое издание.