Спинорная группа

Шаблон:Перенаправление Спинорная группа — подмножество элементов алгебры Клиффорда над $V$ (со скалярным произведением), состоящее из элементов вида $q_1\cdot q_2\cdots q_{2n}$, где $q_i\in V$ — единичные векторы. Операцией в спинорной группе является умножение в алгебре Клиффорда.

Спинорная группа над евклидовым пространством ${ℝ}^n$ обычно обозначается $\mathrm{Spin}(n)$. Существует короткая точная последовательность

$1\to {\mathbb{Z}}_2\to \mathrm{Spin}(n)\to \mathrm{SO}(n)\to 1$

Таким образом спинорная группа является двулистным накрытием специальной ортогональной группы $\mathrm{SO}(n)$. Гомоморфизм $\mathrm{Spin}(n)\to \mathrm{SO}(n)$ может быть построен следующим образом: Каждому единичному вектору q можно сопоставить отражение $R_q$ относительно гиперплоскости, перпендикулярной q. Таким образом, элементу спинорной группы $q_1\cdot q_2\cdots q_{2n}$ можно сопоставить композицию отражений

$R_{q_1,}\circ \cdots \circ R_{q_{2n}}$

которая принадлежит группе $\mathrm{SO}(n)$. Проективные представления накрываемой группы $\mathrm{SO}(n)$ находятся при этом во взаимно-однозначном соответствии с представлениями её накрытия $\mathrm{Spin}(n)$.

Строение первых спинорных групп

$\mathrm{Spin}(1)\simeq \mathrm{O}(1)\simeq {\mathbb{Z}}_2\simeq {𝕊}^0$

$\mathrm{Spin}(2)\simeq \mathrm{U}(1)\simeq {𝕊}^1$

$\mathrm{Spin}(3)\simeq \mathrm{Sp}(1)\simeq \mathrm{SU}(2)\simeq {𝕊}^3$

$\mathrm{Spin}(4)\simeq \mathrm{Sp}(1)\times \mathrm{Sp}(1)\simeq \mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2)\simeq {𝕊}^3\times {𝕊}^3$

$\mathrm{Spin}(5)\simeq \mathrm{Sp}(2)$

$\mathrm{Spin}(6)\simeq \mathrm{SU}(4)$

Шаблон:Algebra-stub Шаблон:Нет ссылок