Точная последовательность

Точная последовательность — последовательность алгебраических объектов $G_i$ с последовательностью гомоморфизмов ${\phi }_i:G_i\to G_{i+1}$, такая что для любого $i$ образ ${\phi }_{i-1}$ совпадает с ядром ${\phi }_i$ (если оба гомоморфизма с такими индексами существуют). В большинстве приложений роль $G_i$ играют коммутативные группы, иногда векторные пространства или алгебры над кольцами.

Связанные определения

Иллюстрация

• Точные последовательности типа

  $0⟶A\stackrel{\phi }{⟶}B\stackrel{\psi }{⟶}C⟶0$

называются короткими точными последовательностями, в этом случае $\phi$ — мономорфизм, а $\psi$ — эпиморфизм.

• При этом, если у $\phi$ есть правый обратный или у $\psi$ левый обратный морфизм, то $B$ можно отождествить с $A\oplus C$ таким образом, что $\phi$ отождествляется с каноническим вложением $A$ в $A\oplus C$, а $\psi$ — с канонической проекцией $A\oplus C$ на $C$. В этом случае короткая точная последовательность называется расщепляющейся.

• Длинная точная последовательность — это точная последовательность с бесконечным числом объектов и гомоморфизмов.
• Если $\mathrm{I}\mathrm{m}{\phi }_i\subset \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{\phi }_{i+1},$ то последовательность называется полуточной.

Примеры

• В теории гомотопических групп большое значение имеет точная последовательность пары, в частности, точная последовательность расслоения. Если $F\to M\to B$ — локально тривиальное расслоение над $B$ со слоем $F$, то следующая последовательность гомотопических групп точна:

$\dots \to {\pi }_n(F)\to {\pi }_n(M)\to {\pi }_n(B)\to {\pi }_{n-1}(F)\to \dots \to {\pi }_0(F)\to {\pi }_0(M)\to {\pi }_0(B)$

• Точная последовательность Майера — Вьеториса имеет большое значение для вычисления групп гомологий сложных пространств:

$\begin{array}{cc}\cdots \to H_{n+1}(X)& \stackrel{{\partial }_{*}}{\to }{H}_n(A\cap B)\stackrel{(i_{*},j_{*})}{\to }{H}_n(A)\oplus H_n(B)\stackrel{k_{*}-l_{*}}{\to }{H}_n(X)\stackrel{{\partial }_{*}}{\to }\\ & \stackrel{{\partial }_{*}}{\to }{H}_{n-1}(A\cap B)\to \cdots \to H_0(A)\oplus H_0(B)\stackrel{k_{*}-l_{*}}{\to }{H}_0(X)\to 0.\end{array}$

• Цепной комплекс — это полуточная последовательность абелевых групп.
• Пусть $E\to X$ — локально тривиальное расслоение многообразий. Тогда с ним связана короткая точная последовательность расслоений

$0⟶VX⟶TE⟶HX⟶0$

и двойственная к ней

$0⟵V^{*}X⟵T^{*}E⟵H^{*}X⟵0$

Здесь $TE$ — касательное расслоение к многообразию $E$, $VX$ и $HX$ — вертикальное и горизонтальное расслоения к $X$ соответственно. ${*}^{}$ обозначает двойственное расслоение (кокасательное и т. п.).

• Экспоненциальная точная последовательность

$0\to 2\pi i\mathbb{Z}\to {𝒪}_M\to {𝒪}_M^{*}\to 0,$

где ${𝒪}_M$ и ${𝒪}_M^{*}$ — пучок голоморфных функций на комплексном многообразии $M$ и его подпучок, состоящий из нигде не обнуляющихся функций