Экспоненциальная точная последовательность

Экспоненциальная точная последовательность — фундаментальная короткая точная последовательность пучков, используемая в комплексной алгебраической геометрии.

Определение

Пусть $M$ — комплексное многообразие, ${𝒪}_M$ и ${𝒪}_M^{*}$ — пучок голоморфных функций и его под пучок, состоящий из нигде не обнуляющихся функций. Комплексная экспонента задаёт отображение

$\exp :{𝒪}_M\to {𝒪}_M^{*},$

которое является гомоморфизмом пучков абелевых групп. Это отображение локально сюръективно и имеет ядро $2\pi \mathbb{Z}$, что даёт экспоненциальную точную последовательность

$0\to 2\pi i\mathbb{Z}\to {𝒪}_M\to {𝒪}_M^{*}\to 0.$

Свойства

Эта точная последовательность не сюръективна на глобальных сечениях, например, в проколотом диске, зато она продолжается до длинной точной последовательности когомологий пучков, которая начинается как

$0\to H^0(\mathbb{Z})\to H^0({𝒪}_M)\to H^0({𝒪}_N^{*})\to H^1(\mathbb{Z})\to H^1({𝒪}_M)\to H^1({𝒪}_M^{*})\underset{}{\overset{c_1}{\to }}{H}^2(\mathbb{Z})\to \cdots$

где $H^1({𝒪}_M^{*})$ — группа Пикара, то есть группа классов изоморфизма линейных расслоений, а $c_1$ — первый класс Черна.