Цепной комплекс

Цепно́й компле́кс и двойственное понятие коцепной комплекс — основные понятия гомологической алгебры.

Эти понятия первоначально использовались в алгебраической топологии для изучения топологических пространств. В гомологической алгебре рассматриваются как абстрактные алгебраические структуры, безотносительно к какому-либо топологическому пространству.

Для цепных комплексов определяются их группы гомологий (группы когомологий для коцепных комплексов). Цепные комплексы также могут быть определены в произвольной абелевой категории.

Определения

Цепным комплексом называется последовательность $(K_{\bullet },{\partial }_{\bullet })$ модулей и гомоморфизмов ${\partial }_n:K_n\to K_{n-1}$, называемых граничными операторами или дифференциалами:

$\dots \stackrel{}{\leftarrow }{K}_{n-1}\stackrel{{\partial }_n}{\leftarrow }{K}_n\stackrel{{\partial }_{n+1}}{\leftarrow }{K}_{n+1}\stackrel{}{\leftarrow }\dots$,

такая что ${\partial }_n{\partial }_{n+1}=0$. Элементы $K_n$ называются $n$-мерными цепями, элементы ядра $Z_{n}K=\mathrm{Ker}{\partial }_n$ — $n$-мерными циклами, элементы образа $B_{n}K=\mathrm{Im}{\partial }_{n+1}$ — $n$-мерными границами. Из ${\partial }_n{\partial }_{n+1}=0$ следует, что $B_{n}K\subset Z_{n}K$ (полуточность). Если к тому же $B_{n}K=Z_{n}K$, то такой комплекс называется точным.

Цепные комплексы модулей над фиксированным кольцом образуют категорию с морфизмами ${\phi }_{\bullet }:(K_{\bullet },\underset{\bullet }{\overset{K}{\partial }})\to (L_{\bullet },\underset{\bullet }{\overset{L}{\partial }})$, где ${\phi }_{\bullet }$ последовательность морфизмов ${\phi }_n:K_n\to L_n$, такая что ${\phi }_n$ коммутирует с дифференциалом, то есть $\underset{n}{\overset{L}{\partial }}{\phi }_n={\phi }_{n-1}\underset{n}{\overset{K}{\partial }}$.

Цепной комплекс также можно определить как градуированный модуль $M_{*}$, снабжённый дифференциалом $\partial :M_{*}\to M_{*}$ степени −1.

Также можно определить комплексы, состоящие из объектов произвольной абелевой категории, например, категории пучков абелевых групп.

Коцепной комплекс

Коцепной комплекс — понятие, двойственное цепному комплексу. Он определяется как последовательность модулей $({\mathrm{\Omega }}^{\bullet },d^{\bullet })$ и гомоморфизмов $d^n:{\mathrm{\Omega }}^n\to {\mathrm{\Omega }}^{n+1}$, таких что

$d^{n+1}{d}^n=0$

Коцепной комплекс, как и цепной, является полуточной последовательностью.

$\dots \stackrel{}{\to }{\mathrm{\Omega }}^{n-1}\stackrel{d^{n-1}}{\to }{\mathrm{\Omega }}^n\stackrel{d^n}{\to }{\mathrm{\Omega }}^{n+1}\stackrel{d^{n+1}}{\to }\dots$

Свойства и понятия, связанные с коцепными комплексами, двойственны аналогичным понятиям и свойствам цепных комплексов.

Гомологии и когомологии

Шаблон:Main n-мерная группа гомологий $H_n$ цепного комплекса $(K_{\bullet },{\partial }_{\bullet })$ является его мерой точности в n-ом члене и определяется как

$H_n(K_{\bullet },{\partial }_{\bullet })=Z_n(K)/B_n(K)=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{\partial }_n/\mathrm{I}\mathrm{m}{\partial }_{n+1}$. Для точного комплекса $H_n=0$

Аналогично определяется n-мерная группа когомологий коцепного комплекса:

$H^n({\mathrm{\Omega }}^{\bullet },d^{\bullet })=Z^n(\mathrm{\Omega })/B^n(\mathrm{\Omega })=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{d}^n/\mathrm{I}\mathrm{m}{d}^{n-1}$

Гомоморфизмы цепных комплексов

Гомоморфизмом цепных комплексов $(A^{\bullet },{\delta }^{\bullet })$ и $(B^{\bullet },{\gamma }^{\bullet })$ называется такое отображение $f:A_n\to B_n,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},$ что следующая диаграмма оказывается коммутативной:

Гомоморфизм цепных комплексов индуцирует гомоморфизм их групп гомологий.

Тензорное произведение комплексов и внутренний Hom

Если V = V${}_{*}$ и W = W${}_{*}$ — цепные комплексы, то их тензорное произведение $V\otimes W$ — это цепной комплекс, элементы степени i которого имеют вид

$(V\otimes W{)}_i=\underset{\{j,k|j+k=i\}}{⨁}{V}_j\otimes W_k,$

а дифференциал задаётся формулой

$\partial (a\otimes b)=\partial a\otimes b+(-1{)}^{\left|a\right|}a\otimes \partial b,$

где a и b — произвольные однородные элементы V и W соответственно, а $\left|a\right|$ обозначает степень элемента a.

Это тензорное произведение позволяет снабдить категорию цепных комплексов K-модулей ${\text{Ch}}_K$ (для произвольного коммутативного кольца K) структурой симметричной моноидальной категории. Операция заузливания задаётся на разложимых тензорах формулой

$a\otimes b\mapsto (-1{)}^{\left|a\right|\left|b\right|}b\otimes a$.

Знак необходим для того, чтобы операция заузливания была гомоморфизмом цепных комплексов. Более того, в категории цепных комплексов K-модулей имеется внутренний Hom: для цепных комплексов V и W, внутренний Hom для V и W, обозначаемый hom(V,W), — это цепной комплекс, элементы степени n которого имеют вид ${\mathrm{\Pi }}_i{\text{Hom}}_K(V_i,W_{i+n})$, а дифференциал задаётся формулой

$(\partial f)(v)=\partial (f(v))-(-1{)}^{\left|f\right|}f(\partial (v))$.

Имеется естественный изоморфизм

$\text{Hom}(A\otimes B,C)\cong \text{Hom}(A,\text{Hom}(B,C))$.

Цепная гомотопия

Шаблон:Main Цепная гомотопия $D:X\to Y$ между гомоморфизмами комплексов $f$ и $g$ — это такой гомоморфизм цепных комплексов $(X^{\bullet },{\partial }^{\bullet })$ и $(Y^{\bullet },{\delta }^{\bullet })$ степени +1 (то есть $D_k:X_k\to Y_{k+1}$), для которого

$\delta D+D\partial =g-f$

${\delta }_{k+1}{D}_k+D_{k-1}{\partial }_k=g_k-f_k$

Для коцепных комплексов соответствующая коммутативная диаграмма имеет вид

Литература

• Гротендик А. О некоторых вопросах гомологической алгебры, — Шаблон:М: 1961. (Б-ка сборника «Математика»).
• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии, — Шаблон:М: Мир, 1976.
• Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра, — Шаблон:М: Издательство Иностранной Литературы, 1960.
• Маклейн С. Гомология, — Шаблон:М: Мир, 1966.