Абелева категория

Абелева категория — категория, в которой морфизмы можно складывать, а ядра и коядра существуют и обладают определёнными удобными свойствами. Пример, который стал прототипом абелевой категории — категория абелевых групп. Теория абелевых категорий была разработана Александром Гротендиком для объединения нескольких теорий когомологий. Класс абелевых категорий замкнут относительно нескольких категорных конструкций; например, категория цепных комплексов с элементами из абелевой категории и категория функторов из малой категории в абелеву также являются абелевыми.

Определение

Предаддитивная категория является абелевой, если:

• в ней существует нулевой объект,
• существуют все бинарные произведения и копроизведения,
• существуют все ядра и коядра,
• все мономорфизмы и эпиморфизмы нормальны.

Это определение эквивалентноШаблон:Sfn следующему определению «по частям»: предаддитивная категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и все мономорфизмы и эпиморфизмы нормальны.

Важно, что наличие структуры абелевых групп на множествах морфизмов является следствием четырёх свойств из первого определения. Это подчёркивает фундаментальную роль категории абелевых групп в данной теории.

Примеры

• Категория абелевых групп является абелевой. Категория конечнопорождённых абелевых групп также абелева, как и категория конечных абелевых групп.
• Если $R$ — кольцо, то категория левых (или правых) модулей над $R$ абелева. Согласно Шаблон:Нп5, любая малая абелева категория эквивалентна полной подкатегории категории модулей.
• Если $R$ — нётерово слева кольцо, то категория конечнопорождённых левых $R$-модулей является абелевой. В частности, категория конечнопорождённых модулей над нётеровым коммутативным кольцом абелева.
• Если $X$ — топологическое пространство, то категория пучков абелевых групп на $X$ абелева.

Аксиомы Гротендика

В статье Sur quelques points d’algèbre homologiqueШаблон:Sfn Гротендик предложил несколько дополнительных аксиом, которые могут выполняться в абелевой категории $𝒜$.

• AB3) Для любого множества объектов $(A_i{)}_{i\in I}$ категории $𝒜$ существует копроизведение $\oplus A_i$. Данная аксиома эквивалентна кополноте абелевой категории $𝒜$Шаблон:Sfn.
• AB4) $𝒜$ удовлетворяет аксиоме AB3) и копроизведение любого семейства мономорфизмов является мономорфизмом (то есть копроизведение является точным функтором).
• AB5) $𝒜$ удовлетворяет аксиоме AB3) и Шаблон:Нп5 точных последовательностей точны. Эквивалентно, для любой решётки $(A_i{)}_{i\in I}$ подобъектов объекта $A$ и любого $B$ — подобъекта объекта $A$ верно, что $\sum (A_i\cap B)=\sum (A_i)\cap B.$

Аксиомы AB3*), AB4*) и AB5*) получаются из приведённых выше аксиом как двойственные им (то есть заменой копределов на пределы). Аксиомы AB1) и AB2) — стандартные аксиомы, которые выполняются в любой абелевой категории (более точно, абелева категория определяется как аддитивная категория, удовлетворяющая этим аксиомам):

• AB1) У любого морфизма существует ядро и коядро.
• AB2) Для любого морфизма $f:A\to B$ канонический морфизм из $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{m}f$ в $\mathrm{i}\mathrm{m}f$ является изоморфизмом. (Здесь $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{m}f=A/\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}f$).

Гротендик также формулирует более сильные аксиомы AB6) и AB6*), однако не использует их в этой работе.

История

Понятие абелевой категории было предложено Шаблон:Нп5 в 1955 году (он использовал название «точная категория») и Гротендиком в 1957 году. В то время существовала теория когомологий пучков на алгебраических многообразиях и теория когомологий групп. Эти теории определялись различно, но имели сходные свойства. Гротендику удалось объединить эти теории; обе они могут быть определены при помощи производных функторов на абелевой категории пучков и абелевой категории модулей соответственно.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга