Знакопеременная группа

Знакопеременная группа перестановок (подстановок) степени n — подгруппа симметрической группы $S_{n}$ степени $n$ , содержащая только чётные перестановки^[1].

Обычно обозначается $A_{n}$ .

Свойства

Индекс подгруппы знакопеременной группы в симметрической равен 2:
$[S_{n} : A_{n}] = 2 .$
Знакопеременная группа является нормальной подгруппой симметрической группы (следует из предыдущего утверждения).
Порядок знакопеременной группы равен:
$| A_{n} | = n! / 2 .$
Знакопеременная группа является коммутантом симметрической группы: $[S_{n}, S_{n}] = A_{n} .$
При $n \geq 5$ знакопеременная группа $A_{n}$ является простой.
Знакопеременная группа разрешима тогда и только тогда, когда её порядок не больше 4. Точнее, $A_{2} = {e}, A_{3} ≅ ℤ_{3}, [A_{4}; A_{4}] ≅ V_{4}$ - четверной группе Клейна, а при $n ⩾ 5 [A_{n}; A_{n}] ≅ A_{n}$ .
Группа $A_{n}$ имеет представление
$A_{n} = ⟨ s_{3}, . . ., s_{n} | (s_{i})^{3} = 1, (s_{i} s_{j})^{2} = 1 (3 ⩽ i \neq j ⩽ n) ⟩$

здесь

s_{i} \to (12 i)

.