Теорема Машке

Теорема Машке — теорема теории представлений, утверждающая при определённых условиях на характеристику поля, что всякое конечномерное представление конечной группы раскладывается в прямую сумму неприводимых.

Формулировка

Шаблон:Theorem Если характеристика поля $\mathrm{char}(𝔽)$ равна нулю или не делит порядок конечной группы $|G|$, то любое конечномерное представление $G$ над полем $𝔽$ раскладывается в прямую сумму неприводимых. Шаблон:/theorem

Трюк Машке

Пусть имеются два линейных представления $\phi :G\to GL(V),\psi :G\to GL(W)$ конечной группы $G$ над полем $𝔽$, характеристика которого не делит порядок группы $G$. Тогда по любому линейному отображению $f:V\to W$ можно построить гомоморфизм линейных представлений $F:V\to W$. Причём если $U$ — такое инвариантное относительно линейного представления $\phi$ подпространство, что $f{|}_U$ есть гомоморфизм линейных представлений, то $F{|}_U=f{|}_U$.

Доказательство. Зададим гомоморфизм линейных представлений таким образом: $F(v)=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}\psi (g)f(\phi (g^{-1})v)$. Проверим, что это действительно гомоморфизм представлений. Пусть $h\in G,v\in V$. Тогда $\psi (h)F(v)=\psi (h)\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}\psi (g)f(\phi (g^{-1})v)=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}\psi (hg)f(\phi ((hg{)}^{-1})\phi (h)v)=F(\phi (h)v)$. Теперь пусть $U\subseteq V$ — такое инвариантное относительно линейного представления $\phi$ подпространство, что $f{|}_U$ есть гомоморфизм линейных представлений. Покажем, что $F{|}_U=f{|}_U$. Действительно, $F(u)=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}\psi (g)f(\phi (g^{-1})u)=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}\psi (g)\psi (g^{-1})f(u)=f(u)$ для всякого $u\in U$. $◼$

Доказательство теоремы Машке

Докажем, что выполняется свойство отщепляемости. Пусть $U$ -- инвариантное подпространство для линейного представления $\phi :G\to GL(V)$, где $V$ -- конечномерное линейное пространство над полем $𝔽$, характеристика которого не делит порядок группы $G$. Возьмём произвольное подпространство $W\subseteq V$, что $V=U\oplus W$. Рассмотрим линейное отображение $f:V\to U$, являющийся проектором на подпространство $U$ параллельно $W$. Тогда $f{|}_U=i{d}_U$. Воспользуемся трюком Машке и получим гомоморфизм $F:V\to U$ для линейных представлений $\phi$ и $\phi {|}_U$. Заметим, что $F{|}_U=f{|}_U=i{d}_U$, следовательно $F{|}_U^2=F{|}_U$. В силу того, что $F$ гомоморфизм представлений, получаем, что ядро $KerF$ является инвариантным подпространством для $\phi$.

Для всякого $v\in V$ верно, что $v=F(v)+(v-F(v))$, $F(v)\in U,v-F(v)\in KerF$. Также видно, что $U\cap KerF=\{0\}$, а значит $V=U\oplus KerF$. Таким образом, доказано выполнение свойства отщепляемости, следовательно, линейное представление $\phi$ является вполне приводимым, то есть раскладывается в прямую сумму неприводимых линейных представлений. $◼$

Литература

• Б. Л. Ван дер Варден, Алгебра, М.: Наука, 1976, с. 388.