Круговое поле

Круговое поле, или поле деления круга степени n — это поле $K_{n} = ℚ (u)$ , порождённое присоединением к полю рациональных чисел $ℚ$ первообразного корня n-й степени из единицы $u$ . Круговое поле является подполем поля комплексных чисел.

Название поля связано с тем, что деление единичной окружности на n равных частей равносильно построению первообразного корня из единицы n-й степени на комплексной плоскости. Исследование круговых полей сыграло значительную роль в создании и развитии теории целых алгебраических чисел, теории чисел и теории Галуа.

Пример: $K_{3}$ состоит из комплексных чисел вида $a + b \sqrt{3} i$ , где $a, b$ — рациональные числа.

Свойства

Круговое поле содержит все корни n-й степени из единицы, а также результаты арифметических действий над ними. Оно не зависит от выбора первообразного корня n-й степени из единицы.
- Следствие: круговое поле является полем разложения многочлена $x^{n} - 1$ .
$K_{4 n + 2} = K_{2 n + 1}$ , поэтому обычно предполагается, что остаток от деления n на 4 не равен 2 $(n \equiv̸ 2 (\mod 4))$ . При выполнении этого условия разным n соответствуют неизоморфные круговые поля.
Поле $K_{n}$ является абелевым расширением поля $ℚ$ с группой Галуа $G (K_{n} / ℚ) ≃ (ℤ / n ℤ)^{*},$

где

(ℤ / n ℤ)^{*}

— мультипликативная группа классов вычетов по модулю n. Степень расширения

[K_{n} : ℚ]

Теорема Кронекера — Вебера: всякое абелево конечное расширение поля рациональных чисел содержится в некотором круговом поле.

Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987.
Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Мир, 1975.