Конечное кольцо

Конечное кольцо в общей алгебре — это кольцо, содержащее конечное число элементов (которое называется порядком кольца). Другими словами, это (непустое) конечное множество $R$, на котором определены операции сложения и умножения, причём относительно сложения $R$ образует коммутативную конечную группу, а умножение связано со сложением обычными распределительными законами. Существование единицы и коммутативность умножения в кольце не всегда имеют место, могут также существовать делители нуля.

Количество колец небольших порядков приведено в онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей.

Примеры конечных колец

• Самым простым примером является тривиальное кольцо, состоящее из одного нуля. Любое кольцо содержит тривиальное подкольцо. Это единственное кольцо, в котором ноль является мультипликативной единицейШаблон:Sfn. Все остальные конечные кольца называются нетривиальными.

• Классическим примером конечного кольца является ${\mathbb{Z}}_n$ — кольцо вычетов по некоторому натуральному модулю $n$. Кольцо вычетов является полем тогда и только тогда, когда число $n$ простоеШаблон:Sfn. Если же число $n$ составное, то в кольце ${\mathbb{Z}}_n$ существуют делители нуля. Например множество $\{0;2;4;6\}$ с операциями сложения и умножения по модулю 8 даёт пример кольца без единицы и с делителями нуля: $2\cdot 4=4\cdot 6=0.$ Кольца вычетов важны при исследовании структуры конечнопорождённых абелевых групп, их также можно использовать для построения [[p-адическое число|Шаблон:Mvar-адических чисел]]. Это кольцо коммутативно, но кольцо квадратных матриц заданного порядка, элементы которых — классы вычетов по модулю $n$, уже не коммутативно.

• Кольцо подмножеств конечного множества $X$ — это кольцо, элементами которого являются подмножества в $X$. В качестве операции сложения выступает симметрическая разность, а в роли умножения выступает пересечение множеств:

$A+B=A\mathrm{\Delta }B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$

$A\cdot B=A\cap B$

Выполнение аксиом кольца легко проверяется. Нулевым элементом является пустое множество, единичным — всё $X$. Все элементы кольца являются идемпотентами, то есть $A\cdot A=A$. Любой элемент является своим обратным по сложению: $A+A=0.$ Кольцо подмножеств важно в теории булевых алгебр и теории меры, в частности, для построения теории вероятностейШаблон:Sfn.

• Каждое конечное поле или конечное тело одновременно является конечным кольцом.

Некоторые свойства

В коммутативном конечном кольце с единицей каждый ненулевой элемент либо обратим, либо является делителем нуля. В самом деле, пусть $a$ — ненулевой элемент кольца порядка $n$; составим произведения $a$ на все ненулевые элементы кольца: $a{a}_1\dots a{a}_{n-1}$. Если среди этих произведений есть единица, то элемент обратим, а если нет, то либо одно из произведений равно нулю, либо какие-то два произведения равны: $a{a}_i=a{a}_k,$ или $a(a_i-a_k)=0.$ В обоих случаях $a$ — делитель нуля, ч. т. д.

Следствие: нетривиальное коммутативное конечное кольцо без делителей нуля является полем (существование в кольце единицы следует из того же рассуждения).

Кольцо $R$ с нетривиальным умножением (у которого не все произведения элементов $R$ равны нулю) называется простым, если в нём нет двусторонних идеалов, кроме тривиального подкольца и самого $R$. Любое поле является простым кольцом, так как в поле нет собственных идеалов. Коммутативное кольцо $R$ с единицей является полем тогда и только тогда, когда оно является простым кольцом.

Теоремы Веддербёрна

Малая теорема Веддербёрна утверждает, что всякое конечное тело является полем (то есть коммутативно по умножению)Шаблон:Sfn.

Натан Джекобсон позже обнаружил ещё одно условие, которое гарантирует коммутативность кольца: если для каждого элемента $a$ из кольца $R$ существует такое целое $n>1$, что $a^n=a$, то кольцо $R$ коммутативноШаблон:Sfn. Обнаружены и другие признаки коммутативности колец.

Ещё одна теорема Веддербёрна: пусть $R$ — простое кольцо с единицей и минимальными левыми идеалами. Тогда кольцо $R$ изоморфно кольцу всех матриц порядка $n$ над некоторым телом. При этом $n$ определено однозначно, а тело с точностью до изоморфизма. Обратно, для любого тела $D$ кольцо $\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(D,n)$ является простым кольцом. Это означает, что любое конечное простое кольцо изоморфно кольцу квадратных матриц над некоторым конечным полемШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга