Симметрическая разность

Диаграмма Эйлера — Венна для симметрической разности

Симметри́ческая ра́зность двух множеств — теоретико-множественная операция, результатом которой является новое множество, включающее все элементы исходных множеств, не принадлежащие одновременно обоим исходным множествам. Другими словами, если есть два множества $A$ и $B$, их симметрическая разность есть объединение элементов $A$, не входящих в $B$, с элементами $B$, не входящими в $A$. На письме для обозначения симметрической разности множеств $A$ и $B$ используется обозначение $A△B$, реже используется обозначение $A\dot{-}B$ или $A+B$.

Определение

Симметрическую разность можно ввести двумя способами:

• симметрическая разность двух заданных множеств $A$ и $B$ — это такое множество $A△B$, куда входят все те элементы первого множества, которые не входят во второе множество, а, также те элементы второго множества, которые не входят в первое множество:

$A△B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A).$

• симметрическая разность двух заданных множеств $A$ и $B$ — это такое множество $A△B$, куда входят все те элементы обоих множеств, которые не являются общими для двух заданных множеств.

$A△B=(A\cup B)\setminus (A\cap B).$

Понятие симметрической разности можно обобщить на число множеств, большее двух.

Свойства

• Симметрическая разница является бинарной операцией на любом булеане;
• Симметрическая разность коммутативна:

$A△B=B\mathrm{△}A;$

• Симметрическая разность ассоциативна:

$(A△B)\mathrm{△}C=A△\left(B\mathrm{△}C\right);$

• Пересечение множеств дистрибутивно относительно симметрической разности:

$A\cap (B△C)=(A\cap B)△(A\cap C);$

• Пустое множество является нейтральным элементом симметрической разности:

$A△\varnothing =A;$

• Любое множество обратно само себе относительно операции симметрической разности:

$A△A=\varnothing ;$

• В частности, булеан с операцией симметрической разности является абелевой группой;
• Булеан с операцией симметрической разности также является векторным пространством над полем ${\mathbb{Z}}_2.$
• В частности, булеан с операциями пересечения множеств и симметрической разности является алгеброй с единицей.
• $(A_1\cap A_2)△(B_1\cap B_2)\subset (A_1△B_1)\cup (A_2△B_2);$
• $(A_1\cup A_2)△(B_1\cup B_2)\subset (A_1△B_1)\cup (A_2△B_2);$
• $(A_1\setminus A_2)△(B_1\setminus B_2)\subset (A_1△B_1)\cup (A_2△B_2);$

• Если роль «суммы» играет операция симметрической разности, а роль «произведения» — пересечение множеств, то множества образуют кольцо с единицей. Причём другие основные операции теории множеств, разность и объединение, можно выразить через них:

$A\cup B=A△B△(A\cap B),$

$A\setminus B=A△(A\cap B).$

• Объединение симметрической разности с пересечением двух множеств равно объединению исходных множеств

$(A△B)\cup (A\cap B)=A\cup B$

Пример

Пусть

$A=\{1,2,3,4,5\},B=\{3,4,5,6,7\}.$

Тогда

$A\mathrm{△}B=\{1,2,6,7\}.$

См. также

• Операции над множествами

Литература

• Шаблон:Книга