Вложенные радикалы

В алгебре вложенным радикалом называется радикал, содержащийся в другом радикале. Например

$\sqrt{5-2\sqrt{5}},$

или более сложный пример

$\sqrt[3]{2+\sqrt{3}+\sqrt[3]{4}}.$

Значения всех вложенных радикалов называются выразимыми в радикалах.

Упрощение вложенных радикалов

Некоторые вложенные радикалы могут быть упрощены. Например:

$\sqrt{3+2\sqrt{2}}=1+\sqrt{2},$

$\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}=\frac{1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{9}}.$

В общем случае упрощение является сложной проблемой, если оно вообще возможно. Следующая формула позволяет произвести упрощение в случае, когда $R=\sqrt{a^2-b^{2}c}$ рационально:

$\sqrt{a\pm b\sqrt{c}}=\sqrt{\frac{a+R}{2}}\pm \sqrt{\frac{a-R}{2}}.$

Например,

$\sqrt{a\pm \sqrt{a^2-b^2}}=\sqrt{\frac{a+b}{2}}\pm \sqrt{\frac{a-b}{2}}(|a|\ge |b|).$

В частности, для комплексных чисел ($c=-1$):

$\sqrt{a+bi}=\pm (\sqrt{\frac{\left|z\right|+a}{2}}+i\mathrm{sgn}(b)\sqrt{\frac{\left|z\right|-a}{2}}),$ где $\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}.$

Бесконечно вложенные радикалы

Общие положения

В некоторых случаях бесконечно вложенные радикалы могут быть тождественны некоторому рациональному числу, например выражение

$x=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots }}}}$

равно 2. Для того чтобы это увидеть, возведем обе части выражения в квадрат и отнимем 2:

$x^2-2=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots }}}=x$;

$x^2-x-2=0$;

$x_1=2,x_2=-1$.

Очевидно, что $-1$ не может являться значением исходного радикала.

Тривиальные случаи

• Для квадратного корня:

  $\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{\cdots }}}}}=\frac{b+\sqrt{b^2+4a}}{2}$;

• Для корня степени $n$

  $\sqrt[n]{a+b\sqrt[n]{a+b\sqrt[n]{a+b\sqrt[n]{a+b\sqrt[n]{\cdots }}}}}=x,$

  где $x$ является решением уравнения $x^n-bx-a=0$.

Нетривиальные случаи

• Формула Рамануджана:

  $x+n+a=\sqrt{ax+(n+a{)}^2+x\sqrt{a(x+n)+(n+a{)}^2+(x+n)\sqrt{a(x+2n)+(n+a{)}^2+(x+2n)\sqrt{\cdots }}}}$

Частные случаи

• Золотое сечение:

  $\varphi =\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{\cdots }}}}$

• Пластическое число:

  $\rho =\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{\cdots }}}}$

• Число Пи:

  $\frac{2}{\pi }=\sqrt{\frac{1}{2}}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}}\cdots$

Ссылки

• Шаблон:Mathworld
• Шаблон:Mathworld
• Decreasing the Nesting Depth of Expressions Involving Square Roots (англ.)
• Simplifying Square Roots of Square Roots (англ.)