Выразимость в радикалах

Выразимость в радикалах означает возможность выразить число или функцию через простейшие числа или функции при помощи извлечения корня целой степени и арифметических операций — сложения, вычитания, умножения, деления.

Для чисел

Первичные определения

Стандартное определение

Элемент $a$ поля $F$ называется выразимым в радикалах над подполем $G$ поля $F$, если существует алгебраическое выражение, в которое в качестве чисел входят только элементы поля $G$, значение которого равно $a$. В случае, если в поле $F$ корень является многозначной функцией, считается достаточным равенство числа $a$ хотя бы одному из возможных значений алгебраического выражения.

Иначе говоря, множество выразимых в радикалах чисел состоит из множества значений всех рациональных выражений, частных сумм радикалов от значений рациональных выражений и частных сумм вложенных радикалов от значений рациональных выражений.

Определение без использования отсылок к формальному языку математики

Пусть $G$ является подполем поля $F$. Рассмотрим такую конечную цепочку вложенных полей $G_0\subset G_1\subset \dots \subset G_s$, что $G_0=G$ и $G_i=G_{i-1}({\alpha }_i)$Шаблон:Refn для любого $i$ от $1$ до $s$, где ${\alpha }_i$ — такое число из поля $F$, что для некоторого натурального $n_i$ число ${\alpha }_i^{n_i}$ принадлежит $G_{i-1}$. Число $a\in F$ называется выразимым в радикалах над подполем $G$ поля $F$, если при некотором $s$ для него найдутся такие наборы ${\alpha }_i$ и $n_i$, что $a\in G_s$.

Прочие определения

• Действительное число $x$ называется выразимым в действительных радикалах, если оно выразимо в радикалах над подполем рациональных чисел $\mathbb{Q}$ поля действительных чисел $ℝ$. Корни чётной степени в принимающем значение $x$ алгебраическом выражении при этом позволяется брать только из неотрицательных чисел, то есть значение любого подвыражения рассматриваемого выражения должно иметь нулевую мнимую часть.
• Комплексное число $z$ (которое может являться и действительным) называется выразимым в комплексных радикалах, если оно выразимо в радикалах над подполем рациональных чисел $\mathbb{Q}$ поля комплексных чисел $ℂ$. Выразимое в действительных радикалах число всегда является выразимым в комплексных радикалах. Первичное возникновение комплексных чисел в алгебраическом выражении, принимающем значение $z$, может происходить только благодаря извлечению корня чётной степени из отрицательных чисел. Для упрощения работы с неоднозначностью корней $n$-ой степени в комплексных числах применяются различные методы указания на то, какой из корней является необходимым для получения данного числа: например, комплексные корни из единицы, являющиеся важными константами, пронумерованы явно в порядке против часовой стрелки на стандартной комплексной плоскости, начиная с самой единицы.
• Элемент $a$ поля $F$ называется выразимым в радикалах степени $n$ над подполем $G$ поля $F$, если некоторое алгебраическое выражение с числами из $G$, значение которого равно $a$, из возможных корней содержит только корни степени $n$. В частности, при $n=2$ число $a$ называется выразимым в квадратных радикалах, а при $n=3$ выразимым в кубических радикалах. Возможны также комбинации: например, числа $\sqrt{2+\sqrt[3]{2}}$ и $\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}$ являются выразимыми в квадратных и кубических радикалах над полем рациональных чисел $\mathbb{Q}$. Определение, не выходящее за рамки стандартного формального языка, имеет следующий вид: элемент $a$ поля $F$ называется выразимым в радикалах степени $n$ над подполем $G$ поля $F$, если он выразим в радикалах над полем $G$ и все $n_i$, участвующие в определении выразимости в радикалах для $a$, данном выше, равны $n$.
• Число, выразимое в действительных квадратных радикалах, называется вещественно построимым.
• Пусть $K$ — поле. Тогда поле $K(\sqrt[n]{a})$Шаблон:Refn, где $a\in K$ и $\sqrt[n]{a}\notin K$, называется радикальным расширением поля $K$. Таким образом, в построенной выше цепочке полей $G_0\subset G_1\subset \dots \subset G_s$ каждое следующее является некоторым радикальным расширением предыдущего. В случае $n=2$ указанное поле называется квадратичным расширением поля $K$, то есть число, выразимое в квадратных радикалах, принадлежит очередному полю в цепочке квадратичных расширений изначального подполя.
• Число, выразимое в радикалах, называется выразимым за $n$ радикалов, если среди всех равных ему алгебраических выражений минимальное количество корней в них равно $n$.

Примеры

• Число $\sqrt{3+\sqrt{8}}$ выразимо в действительных квадратных радикалах, то есть вещественно построимо. Одновременно оно выразимо в действительных радикалах любой степени вида $2^n$, где $n$ — натуральное, так как $\sqrt{3+\sqrt{8}}=\sqrt[2^n]{(3+\sqrt[2^n]{8^{2^{n-1}}}{)}^{2^{n-1}}}$.
• Число $\sqrt{6+\sqrt{32}}+\sqrt{6-\sqrt{32}}$ также на первый взгляд кажется выразимым только в радикалах любой степени вида $2^n$, однако на самом деле оно выразимо в радикалах любой степени и любого вида, так как $\sqrt{6+\sqrt{32}}+\sqrt{6-\sqrt{32}}=4=\sqrt[n]{4^n}$ для любого $n$.
• Не всегда сразу можно определить и такое минимальное $n$, что рассматриваемое число выразимо за $n$ радикалов, так как с виду выразимое за два квадратных радикала число $\sqrt{17+\sqrt{288}}$ на самом деле равно $\sqrt{9+2\cdot 3\cdot \sqrt{8}+8}=\sqrt{(3+\sqrt{8}{)}^2}=3+\sqrt{8}$ и является выразимым за один квадратный радикал.
• Больше подобных примеров приведено в статье вложенные радикалы.
• Число $\sqrt[3]{1-\sqrt{\pi }}$ выразимо в радикалах над подполем $\mathbb{Q}(\pi )$ поля $ℝ$, так как единственный корень чётной степени в данном алгебраическом выражении извлекается из неотрицательного числа $\pi$, но не выразимо в действительных радикалах, так как $\pi \notin \mathbb{Q}$. В отличие от предыдущих пунктов, в данном случае мы можем говорить о негативном свойстве рассматриваемого числа на основании конкретной его записи, так как, предположив, что оно выразимо в действительных радикалах, мы легко получили бы алгебраическое выражение для $\pi$, которого не существует в силу трансцендентности этого числа (см. раздел общие свойства).

Пояснения

• Под выразимостью в радикалах в отношении действительного числа без прочих уточнений в литературе обычно подразумевается выразимость в комплексных радикалах.

Для функций, многочленов и уравнений

Первичные определения

Стандартное определение

Функция $f$, принимающая значения в поле $F$ и зависящая от некоторого количества параметров, называется выразимой в радикалах над подполем $G$ поля $F$, если существует алгебраическое выражение, в которое в качестве чисел входят только элементы поля $G$ и указанные параметры, значение которого совпадает со значением $f$ при любых допустимых значениях этих параметров.

Определение без использования отсылок к формальному языку математики

Пусть $G$ является подполем поля $F$. Рассмотрим такую конечную цепочку вложенных полей $K_0\subset K_1\subset \dots \subset K_s$, элементами которых являются функции из $F$ (возможно, без нескольких точек во избежание деления на ноль) в $F$, что $K_0$ состоит из всех рациональных функций над $G$, а $K_i=K_{i-1}(f_i)$Шаблон:Refn для любого $i$ от $1$ до $s$, где $f_i$ — такая непрерывная функция на $F$, что для некоторого натурального $n_i$ функция $f_i^{n_i}$ принадлежит $K_{i-1}$. Функция $f:F\to F$ называется выразимой в радикалах над подполем $G$ поля $F$, если при некотором $s$ для неё найдутся такие наборы $f_i$ и $n_i$, что $f\in K_s$.

Прочие определения

• Многозначная функция $f$ называется выразимой в радикалах над подполем $G$, если все выделяемые из неё однозначные функции также выразимы в радикалах над подполем $G$.
• Многочлен от одной переменной, зависящий от некоторого количества параметров (определяющих некоторые его коэффициенты), называется разрешимым в радикалах, если выразима в радикалах непрерывная и, возможно, многозначная функция, сопоставляющая набору значений параметров соответствующий ему набор корней многочлена.
• Алгебраическое уравнение называется разрешимым в радикалах, если разрешим в радикалах многочлен, приравнивающийся к нулю в этом уравнении.
• К функциям и многочленам применимы все ограничения определения выразимости и разрешимости в радикалах соответственно, указанные выше. Например, функция $f:ℝ\to ℝ$, определённая как $f(x)=\sqrt{x-\sqrt{x}}$ на всей действительной прямой, выразима в квадратных комплексных радикалах.

Примеры

• Многозначная функция $f(x):ℂ\to ℂ$, $f(x)=\sqrt{x}+\pi +\sqrt[3]{x}$ выразима в радикалах, так как все шесть выделяемых из неё однозначных функций $g(x)$ удовлетворяют условию $g(x)=\sqrt{x}+\pi +\sqrt[3]{x}$, где $\sqrt{x}+\pi +\sqrt[3]{x}$ — алгебраическое выражение, использующее только переменную, выступающую в качестве аргумента функции, и комплексные числа.
• Многочлен $x^5+2a{x}^3+a^{2}x$ разрешим в комплексных квадратных радикалах, так как при любом $a$ его корни задаются функцией $x\mapsto 0,\sqrt{-a},-\sqrt{-a}$. Однако разрешимым в действительных радикалах этот многочлен может являться только при том ограничении, что число $a$ принадлежит множеству неположительных чисел.

Пояснения

• В случае с комплексной функцией без уточнения подполя $G$ оно обычно подразумевается равным тому же множеству комплексных чисел $ℂ$.
• Важно отметить тот факт, что выразимость в радикалах функции и выразимость в радикалах образа каждого элемента при её применении не равносильны: к примеру, удовлетворяющая второму условию функция на $ℝ$ может не быть непрерывной, в то время как для удовлетворяющей первому условию это требование обязательно.

Общие свойства

• Множества выразимых в радикалах чисел и выразимых в радикалах функций являются полями, содержащими поля, над которыми они выразимы в радикалах, в качестве подполей.
• Любое выразимое в радикалах комплексное число является алгебраическим, однако не любое алгебраическое число выразимо в радикалах. Первое утверждение следует из алгебраичности рациональных чисел и из того, что множество алгебраических чисел является полем (на каждом шаге перехода от $G_{i-1}$ к $G_i$ в определении выразимого в радикалах числа алгебраические числа порождают только алгебраические). Второе утверждение следует из нижеследующей теоремы о существовании уравнения $5$ степени с целыми коэффициентами, хотя бы один из корней которого невыразим в радикалах. Точно также, любая выразимая в радикалах функция является алгебраической, в то время как не всякая алгебраическая функция выразима в радикалах. Иными словами, поле алгебраических чисел содержит поле чисел, выразимых в радикалах, а поле алгебраических функций содержит поле функций, выразимых в радикалах, однако обратные утверждения неверны.
• Любая выразимая в радикалах функция переводит множества чисел, выразимых в радикалах, алгебраических чисел и трансцендентных чисел над тем же полем внутрь них самих. В случае, если аргумент многозначной выразимой в радикалах функции целиком состоит из чисел одного из этих множеств, образ также попадает в него. Однако только последние два множества всегда целиком являются образами себя. Получить выразимое в радикалах число, получаемое при применении выразимой в радикалах функции только к невыразимым в радикалах числам, можно следующим образом: возьмём многочлен $5$ степени с целыми коэффициентами, ни один из корней которого не выразим в радикалах и свободный член которого не равен нулю (по теореме Кронекера, описанной ниже, в качестве такого многочлена может подойти, к примеру, $x^5-4x+2$). Тогда функция, заданная таким многочленом без свободного члена, принимает равное ему значение только в корнях этого многочлена, невыразимых в радикалах, в то время как сам свободный член является целым числом и, очевидно, выражается в любых радикалах.

Геометрические и тригонометрические теоремы

• Основная теорема теории геометрических построений: при наличии на плоскости отрезка длины $1$ отрезок длины $x$ построим циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда число $x$ является вещественно построимым (то есть выразимо в квадратных действительных радикалах). Отсюда следует невозможность квадратуры круга и удвоения куба циркулем и линейкой, поскольку в итоге будут получены непостроимые вещественно числа $\sqrt{\pi }$ и $\sqrt[3]{2}$ соответственно.
• В более общем виде рассмотренная выше теорема звучит так: при данных отрезках длин $a_1,a_1,\dots ,a_n$ отрезок длины $a$ можно построить циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда $a\in \mathbb{Q}(a_1,a_1,\dots ,a_n)$.
• Теорема Гаусса: Число $\cos \left(\frac{2\pi }{n}\right)$ вещественно построимо тогда и только тогда, когда $n=2^k{p}_1{p}_2\dots p_k$, где все $p_i$ — попарно различные простые числа Ферма. Из данной теоремы, в частности, следует, что число $\cos \left(\frac{2\pi }{9}\right)$ не является вещественно построимым, то есть провести циркулем и линейкой трисекцию угла $\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)$, а значит, и произвольного угла, невозможно. Аналогичным образом доказывается невозможность разбиения произвольного угла на любое количество равных частей, не являющееся степенью двойки — если бы такое разбиение было возможно, то можно было бы построить углы вида $\frac{2\pi }{a^2}$, что возможно только при $a=2^k$.

Список алгебраических выражений для тригонометрических функций некоторых углов приведён в статье Тригонометрические константы. Побочный результат рассмотренной теоремы состоит в том, что значения тригонометрических функций в угле, составляющем целое число градусов, выражаются в радикалах тогда и только тогда, когда это число делится на $3$.

• Теорема Гаусса — Ванцеля также сразу следует из приведённой выше теоремы Гаусса и гласит, что правильный $n$-угольник может быть построен циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда $n=2^k{p}_1{p}_2\dots p_k$, где все $p_i$ — попарно различные простые числа Ферма, то есть тогда и только тогда, когда косинус его центрального угла, равного $\frac{2\pi }{n}(\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d})$, вещественно построим.
• Несмотря на указанные выше факты, косинус любого угла, кратного $\pi (\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d})$, выразим в комплексных радикалах, так как $\cos \left(\frac{2\pi }{n}\right)=\frac{1}{2}(u_2+\frac{1}{u_2})$, где $u_2$ — второй в стандартной нумерации корень из единицы после самой единицы, а число $\cos \left(\frac{2\pi m}{n}\right)$ выражается через $\cos \left(\frac{2\pi }{n}\right)$ или $\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)=\pm \sqrt{1-{\cos }^2\left(\frac{2\pi }{n}\right)}$ при помощи многочленов Чебышёва. Однако даже в тех случаях, когда косинус данного угла выразим только в комплексных радикалах произвольной степени, но не в квадратных действительных, минимальная степень радикалов соответствующего выражения не обязательно равна $n$: например, $\cos \left(\frac{2\pi }{7}\right)=\frac{1}{6}(-1+\sqrt[3]{\frac{7+21\sqrt{-3}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{7-21\sqrt{-3}}{2}})$, то есть это число выразимо в квадратных и кубических радикалах (в данном случае для получения верного значения среди возможных девяти следует взять значения кубических корней с наибольшей действительной частью).

Теоремы о функциях

• Группа Галуа выражающейся в комплексных радикалах функции разрешима. (В данном случае под "группой Галуа функции" подразумевается группа перестановок листов римановой поверхности функции, порождённая кольцевыми перестановками вокруг точек разветвления этой поверхности.)
• Производная функции, выражающейся в радикалах, также выражается в радикалах, поскольку производные всех допустимых в алгебраических выражениях арифметических операций, применённых к функциям, являются алгебраическими выражениями, использующими только значения этих функций и, в случае с корнем, его степень, в качестве переменных:

$\left(f\pm g\right)=f^{\prime }\pm g^{\prime }$

$\left(fg\right)=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$

$\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$

${\sqrt[n]{x}}^{\prime }=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$

• Однако обратное неверно: например, производные обратных тригонометрических функций выразимы в радикалах над $\mathbb{Q}$, в то время как сами обратные тригонометрические функции являются трансцендентными функциями, то есть не являются алгебраическими (а любая выразимая в радикалах функция, как уже было сказано выше, является алгебраической):

${\arcsin }^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$

${\arccos }^{\prime }(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$

${\mathrm{arctg}}^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}.$

${\mathrm{arcctg}}^{\prime }(x)=-\frac{1}{1+x^2}.$

Теоремы о многочленах

• Многочлен разрешим в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа в общем виде разрешима.
• Теорема Кронекера: хотя бы один из корней неприводимого в рациональных числах уравнения простой степени $n$ с целыми коэффициентами выразим в радикалах как число только в том случае, если среди них ровно один или ровно $n$ действительных. Из этого путём построения неприводимого многочлена $5$ степени с целыми коэффициентами и тремя действительными корнями (примером такого многочлена может служить $x^5-4x-2$) мгновенно выводится частный случай следующей теоремы для поля рациональных чисел $\mathbb{Q}$:
• Теорема Абеля-Руффини, гласящая, что уравнения любой степени, не меньшей $5$, с целыми коэффициентами не разрешимы в радикалах в общем виде (то есть при параметризации всех их коэффициентов).
• Однако уравнения с целыми коэффициентами степени до $4$ включительно разрешимы (см. Линейное уравнение, Квадратное уравнение, Кубическое уравнение, Уравнение четвёртой степени). При этом линейные уравнения разрешимы и без использования радикалов, квадратные — только с использованием квадратных радикалов (а при действительных корнях ещё и действительных), кубические и четвёртой степени — только с использованием действительных квадратных и комплексных кубических радикалов . Более того, как видно из формул для решения всех этих уравнений (для $3$ и $4$ степеней см. Формула Кардано и Формула Феррари), они разрешимы даже над полем рациональных чисел.

• Уравнения более узкого класса, называемые возвратными, разрешимы в радикалах вплоть до $9$ степени включительно. Возвратные многочлены нечётной степени $2n+1$ имеют вид $\sum _{k=0}^n(a_k{x}^k(x^{2n-2k+1}+{\lambda }^{2n-2k+1}))$ и представляются в виде произведения скобки $(x+\lambda )$ и некоторого возвратного же уравнения чётной степени, а оно, в свою очередь, выглядит следующим образом: $\sum _{k=0}^n(a_{n-k}(x^{n+k}+x^{n-k}{\lambda }^k))$ и может быть при $x\ne 0\iff \lambda ,a_0\ne 0$ записано в виде $x^n\sum _{k=0}^n\left(a_{n-k}\right(x^k+\left(\frac{\lambda }{x}{)}^k\right))$, что при откидывании первого множителя может быть преобразовано в многочлен относительно $(x+\frac{\lambda }{x})$ степени $n$. По приведённой выше теореме Абеля-Руффини такое уравнение разрешимо в радикалах вплоть до $n=4$, следовательно, возвратное уравнение разрешимо в радикалах вплоть до степени $2\cdot 4+1=9$.
• Также нетрудно убедиться по индукции по $n$, что разрешимы в радикалах в общем виде многочлены вида $P_1(P_2(\dots P_n(x)\dots ))$, где $P_1,P_2,\dots P_n$ — многочлены степени не выше $4$. Частный случай вида $P(x^2)$, где $P$ - многочлен $2$ степени, называется биквадратным уравнением и, будучи записанным в виде $a{x}^4+b{x}^2+c$, имеет четыре корня, равные $\pm \sqrt{\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$.
• Пусть $f(x)$ — неприводимый многочлен над полем $K$, а $L$ — поле его разложения. Многочлен $f(x)$ разрешим в квадратных радикалах тогда и только тогда, когда ${\dim }_{K}L=2^n$ (то есть размерность $L$ как линейного пространства над полем $K$ равна $2^n$ для некоторого натурального $n$).

Происхождение термина

Под «радикалами» во всех рассмотренных словосочетаниях подразумеваются математические корни целой степени — это слово ведёт своё происхождение от латинского слова «radix», имеющего, помимо прочего, то же значение. Так как операции сложения и умножения вместе с обратными к ним, также разрешённые в алгебраических выражениях, формально определяются до возведения в степень, а значит, и корня, именно корень, как "крайняя" допустимая операция, фигурирует в названии свойства.

Литература

• "Решение уравнений с использованием одного радикала" (Летняя конференция Турнира Городов)
• А.Скопенков "Ещё несколько доказательств из Книги: разрешимость и неразрешимость уравнений в радикалах"
• Лекция в НИУ ВШЭ
• Алексеев В.Б. "Теорема Абеля в задачах и решениях"