Теорема Гаусса — Ванцеля

Построение правильного пятиугольника.

Теоре́ма Га́усса — Ванце́ля даёт необходимое и достаточное условие на то, что правильный $n$-угольник возможно построить с помощью циркуля и линейки.

Формулировка

Правильный $n$-угольник возможно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда $n=2^k\cdot p_1\cdot \dots \cdot p_m$, где $k$ и $m$ — неотрицательные целые числа, а $p_i$ — различные простые числа Ферма.

Замечания

• Это условие также эквивалентно тому, что значение функции Эйлера $\phi (n)$ является степенью числа два.
• В настоящее время найдены только пять простых чисел Ферма:

$3,5,17,257,65537;$

поэтому (до открытия новых простых Ферма) с помощью циркуля и линейки можно построить правильный многоугольник с максимальным нечётным числом сторон, равным $3\cdot 5\cdot 17\cdot 257\cdot 65537=2^{32}-1$ = 4294967295.

• Правильный $n$-многоугольник может быть построен циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда при наличии на плоскости отрезка длины $1$ можно построить отрезок, длина которого равна $\cos \frac{2\cdot \pi }{n}$ — косинусу центрального угла данного $n$-многоугольника. Это, в свою очередь, верно тогда и только тогда, когда данный косинус является вещественно построимым числом, то есть может быть выражен при помощи целых чисел, простейших арифметических операций и извлечения квадратного корня.

История

Античным геометрам были известны способы построения правильных $n$-угольников для $n=2^k,3\cdot 2^k,5\cdot 2^k$ и $3\cdot 5\cdot 2^k$.

В 1796 году Гаусс показал возможность построения правильных $n$-угольников при $n=2^k\cdot p_1\cdots p_m$, где $p_i$ — различные простые числа Ферма. (Здесь случай $m=0$ соответствует числу сторон $n=2^k$.)

В 1837 году Ванцель доказал, что других правильных многоугольников, которые можно построить циркулем и линейкой, не существует.

Конкретные реализации построения весьма трудоёмки:

• Построение правильного семнадцатиугольника было непосредственно осуществлено самим Гауссом, но впервые опубликовано К. Ф. фон Пфейдерером в 1802 году.
• Правильный 257-угольник построил Ф. Ю. Ришело в 1832 году.
• В библиотеке Гёттингенского университета хранится рукопись, являющаяся итогом десятилетней работы И. Г. Гермеса, которая содержит метод построения правильного 65537-угольника.

Ссылки

• Жак Сезиано История построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки от Евклида до Гаусса Семинар по истории математики, 4 мая 2017 года, Санкт-Петербург, ПОМИ.