Правильный 65537-угольник

Правильный 65537-угольник
Правильный 65537-угольник визуально неотличим от окружности (при разрешении в 1000 пикселей отличие от окружности будет меньше одной миллионной пикселя).

Правильный 65537-угольник Шаблон:Переносить строку — правильный многоугольник с Шаблон:Число и Шаблон:Число. Из-за того, что центральный угол мал, в графическом представлении правильный 65537-угольник почти не отличается от окружности (см. иллюстрацию).

Правильный 65537-угольник представляет интерес, поскольку Шаблон:Число является простым числом Ферма, что делает возможным построение данного многоугольника с помощью циркуля и линейки. Эта задача была решена Иоганном Густавом Гермесом в 1894 году.

Построение

Отличительная особенность правильного 65537-угольника — это тот факт, что его возможно построить, используя только циркуль и линейку.

Первый шаг в построении 65537-угольника

Число Шаблон:Число — это самое большое известное простое число Ферма:

$65537=2^{2^4}+1$.

Гаусс в 1796 году доказал, что правильный n-угольник можно построить циркулем и линейкой, если нечётные простые делители числа n являются различными числами Ферма. В 1836 году П. Ванцель доказал необходимость этого условия для построения таких многоугольников. Ныне это утверждение известно как теорема Гаусса — Ванцеля.

В 1894 году Иоганн Густав Гермес после более чем десятилетних исследований нашёл способ построения правильного 65537-угольника и описал его в рукописи размером более Шаблон:Число (оригинал рукописи хранится в библиотеке Гёттингенского университета). Шаблон:Цитата

Пропорции

Углы

Центральный угол равен $\frac{360^{\circ }}{65537}\approx 0,0054930802447472424^{\circ }\approx 0^{\circ }{0}^{\prime }19,77508888^{″}$.

Внутренний угол равен $\frac{65537-2}{65537}\cdot 180^{\circ }\approx 179,99450691975525^{\circ }=180^{\circ }-0,0054930802447472424^{\circ }$.

Наглядное представление

Для иллюстрации пропорций практически непредставимой фигуры могут служить следующие соображения:

• Отклонение центрального угла от 0°, а также отклонение внутреннего угла от 180° составляет всего лишь примерно 0,005°. Если приподнять за один конец лежащую на земле жердь длиной 104,3 метра только на один сантиметр, то она образует с землёй примерно этот угол.

• Если нарисовать 65537-угольник с длиной одной стороны 1 см, то его наибольшая диагональ будет больше 200 м.
• Если нарисовать 65537-угольник с длиной одной стороны 1 м, то радиусы его вписанной и описанной окружностей будут около 10 км, а разница между ними составит всего лишь около 0,024 мм.
• Если нарисовать 65537-угольник диаметром Шаблон:Число, то длина одной его стороны окажется менее одной десятой толщины самого тонкого человеческого волоса.

Ссылки

• Шаблон:MathWorld