Число Ферма

Числа Ферма́ — числа вида $F_n=2^{2^n}+1$, где $n⩾0$ (Шаблон:OEIS).

При $n\in \{0,1,2,3,4\}$ числа Ферма простые и равны $3,5,17,257,65537;$.

Пока других простых чисел Ферма не обнаружено, и неизвестно, существуют ли простые числа при Шаблон:Число или же все прочие числа Ферма — составные.

История

Изучение чисел такого вида начал Ферма, который выдвинул гипотезу, что все они простые. Однако эта гипотеза была опровергнута Эйлером в 1732 году, когда тот нашёл разложение числа $F_5$ на простые сомножители:

$F_5=4294967297=641\cdot 6700417$.

Во времена Ферма считалось верным утверждение, что если $2^n\equiv 2(\text{mod}n)$, то $n$ — простое, это утверждение оказалось неверным (был найден контрпример: $n=341$), по мнению Тадеуша Банахевича, именно это могло побудить Ферма выдвинуть свою гипотезу, так как утверждение $2^{F_n}\equiv 2(\text{mod}{F}_n)$ верно при всех $n$.

Простые числа Ферма

На 2024 год известны 5 простых чисел Ферма — при $n\in \{0,1,2,3,4\}:$

$F_0=2^{2^0}+1=2^1+1=3;$

$F_1=2^{2^1}+1=2^2+1=5;$

$F_2=2^{2^2}+1=2^4+1=17;$

$F_3=2^{2^3}+1=2^8+1=257;$

$F_4=2^{2^4}+1=2^{16}+1=65537;$

Существование других простых чисел Ферма является открытой проблемой. Известно, что $F_n$ являются составными при $5⩽n⩽32$, при том, что до 5 все числа Ферма простые.

Свойства

• Правильный $n$-угольник можно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда $n=2^r\cdot p_1\cdot p_2\cdot \dots \cdot p_k$ ($r=0,1,2,...$), где $p_1,\dots ,p_k$ — различные простые числа Ферма (теорема Гаусса — Ванцеля).
• Среди чисел вида $2^n+1$ простыми могут быть только числа Ферма (то есть число n обязано быть степенью 2). Действительно, если у n есть нечётный делитель $d>1$ и $n/d=m$, то

$2^n+1=(2^m+1)(1-2^m+2^{2m}-\cdots +2^{n-m}),$

и поэтому $2^n+1$ не является простым.

• Простоту некоторых чисел Ферма можно эффективно установить с помощью теста Пепина. Однако числа Ферма сильно растут, и этот тест был удачно применён только для 8 чисел, составность которых ранее не была доказана. По мнению Майера, Пападопулоса и Крэндалла, чтобы выполнить тесты Пепина на последующих числах Ферма, понадобится несколько десятилетий.
• Десятичная запись чисел Ферма, больших 5, оканчивается на 17, 37, 57 или 97.
• Каждый делитель числа $F_n$ при $n>2$ имеет вид $k\cdot 2^{n+2}+1$ (Эйлер, Люка, 1878).
• Числа Ферма растут очень быстро: 9-е число больше гугола, а 334-е число больше гуголплекса.

Разложение на простые

Всего по состоянию на 2025 год найдено 373 простых делителя чисел Ферма. Для 328 чисел Ферма доказано, что они составные, при этом для 2 из них (F₂₀ и F₂₄) до сих пор неизвестно ни одного делителя. Несколько новых делителей чисел Ферма находят каждый год.

Ниже приведено разложение чисел Ферма на простые сомножители, при $n\in \{5,6,7,8,9\}:$

$F_5=2^{2^5}+1=2^{32}+1=4294967297=(5\cdot 2^{5+2}+1)\cdot (52347\cdot 2^{5+2}+1)=641\cdot 6700417;$

$F_6=2^{2^6}+1=2^{64}+1=18446744073709551617=(1071\cdot 2^{6+2}+1)\cdot (262814145745\cdot 2^{6+2}+1)=274177\cdot 67280421310721;$

$\begin{array}{ccc}{F}_7=2^{2^7}+1=2^{128}+1& =& 340282366920938463463374607431768211457=\\ & =& (116503103764643\cdot 2^{7+2}+1)\cdot (11141971095088142685\cdot 2^{7+2}+1)=\\ & =& 59649589127497217\cdot 5704689200685129054721;\end{array}$

$\begin{array}{ccc}{F}_8=2^{2^8}+1=2^{256}+1& =& 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937=\\ & =& (3853149761\cdot 157\cdot 2^{8+3}+1)\cdot (1057372046781162536274034354686893329625329\cdot 31618624099079\cdot 13\cdot 7\cdot 5\cdot 3\cdot 2^{8+3}+1)=\\ & =& 1238926361552897\cdot 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321;\end{array}$

$\begin{array}{ccc}{F}_9=2^{2^9}+1=2^{512}+1& =& 13407807929942597099574024998205846127479365820592393377723561443721764030073546976801874298166903427690031858186486050853753882811946569946433649006084097=\\ & =& (37\cdot 2^{9+7}+1)\cdot (43226490359557706629\cdot 1143290228161321\cdot 82488781\cdot 47\cdot 19\cdot 2^{9+2}+1)\times \\ & & \times (16975143302271505426897585653131126520182328037821729720833840187223\cdot 17338437577121\cdot 40644377\cdot 26813\cdot 1129\cdot 2^{9+2}+1)=\\ & =& 2424833\cdot 7455602825647884208337395736200454918783366342657\cdot 741640062627530801524787141901937474059940781097519023905821316144415759504705008092818711693940737.\end{array}$

Обобщённые числа Ферма

Обобщённое число Ферма — число вида $a^{2^n}+b^{2^n}$. Числа Ферма являются их частным случаем для $a=2$ и $b=1.$

Литература

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation — This book contains an extensive list of references.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation

Ссылки

• Леонид Дурман. Гонки по вертикали. Числа Ферма от Эйлера до наших дней: 1, 2, 3 // Компьютерра, 2001, № 393—395.
• TOP-20 Наибольших делителей чисел ФермаШаблон:Ref-en
• Леонид Дурман, Luigi Morelli. Координирующий проект FERMATSEARCHШаблон:Ref-en Шаблон:Ref-it Шаблон:Ref-ru
• Wilfrid Keller. Prime Factors of Fermat NumbersШаблон:Ref-en