Тригонометрические константы

Синусы и косинусы основных углов на тригонометрической окружности.

В данной статье приведены точные алгебраические выражения для некоторых тригонометрических чисел. Такие выражения могут потребоваться, например, для приведения результатов выражений с тригонометрическими функциями в радикальную форму, что даёт возможность для дальнейшего упрощения.

Любое тригонометрическое число алгебраично. Некоторые тригонометрические числа могут быть выражены в комплексных радикалах, однако не всегда в действительных: в частности, среди значений тригонометрических функций в углах, выражающихся целым числом градусов, в действительных радикалах могут быть выражены только значения в тех из них, количество градусов в которых кратно трём. Но по теореме Абеля бывают и те, которые неразрешимы в радикалах.

По Шаблон:Нп5 у синуса с рациональным в градусах аргументом значение либо иррационально, либо равно одному из чисел среди $0$, $\frac{1}{2}$, $1$, $-\frac{1}{2}$, $-1$.

По Шаблон:Нп5 если синус, косинус или тангенс в данной точке дают алгебраическое число, то их аргумент в градусах либо рационален, либо трансцендентен. Иначе говоря, если аргумент в градусах алгебраичен и иррационален, то значения всех тригонометрических функций от этого аргумента будут трансцендентны.

Критерии включения

Значения для тригонометрических функций от аргумента, соизмеримого с $\pi$, выразимы в действительных радикалах, только если знаменатель сокращённой рациональной дроби, полученной делением его на $\pi$, является степенью двойки, умноженной на произведение нескольких простых чисел Ферма (см. теорема Гаусса — Ванцеля). Данная страница посвящена преимущественно углам, выражающимся в действительных радикалах.

При помощи формулы половинного угла можно получать алгебраические выражения для значений тригонометрических функций в любом угле, для которого они уже найдены, делённом пополам. В частности, для углов, лежащих на промежутке от $0$ до $\frac{\pi }{2}$, верны формулы

$\sin \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}$, $\cos \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}$ и $\mathrm{tg}\frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}$.

Выражения ниже позволяют также получать выражения в комплексных радикалах значений тригонометрических функций в тех углах, в которых они не выражаются в действительных. К примеру, при наличии формулы для угла $\theta$ формула для Шаблон:Sfrac может быть получена путём решения следующего уравнения третьей степени:

$4{\cos }^3\frac{\theta }{3}-3\cos \frac{\theta }{3}=\cos \theta ,$

Однако в его решении в общем виде могут возникнуть комплексные невещественные числа (этот случай называется casus irreducibilis).

Таблица некоторых часто встречающихся углов

Встречаются различные единицы измерения углов, например, градусы, радианы, обороты, грады (гоны).

$1\text{полный оборот}=360^{\circ }=2\pi (\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d})=400(\mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{n}).$

Эта таблица показывает переводы из одних мер в другие и значения тригонометрических функций от наиболее часто встречающихся углов:

Обороты	Градусы	Радианы	Грады (гоны)	Синус	Косинус	Тангенс
0	0°	0	0	0	1	0
Шаблон:Sfrac	30°	Шаблон:Sfrac	Шаблон:Sfrac	Шаблон:Sfrac	Шаблон:Sfrac	Шаблон:Sfrac
Шаблон:Sfrac	45°	Шаблон:Sfrac	50	Шаблон:Sfrac	Шаблон:Sfrac	1
Шаблон:Sfrac	60°	Шаблон:Sfrac	Шаблон:Sfrac	Шаблон:Sfrac	Шаблон:Sfrac	Шаблон:Sqrt
Шаблон:Sfrac	90°	Шаблон:Sfrac	100	1	0
Шаблон:Sfrac	120°	Шаблон:Sfrac	Шаблон:Sfrac	Шаблон:Sfrac	−Шаблон:Sfrac	−Шаблон:Sqrt
Шаблон:Sfrac	135°	Шаблон:Sfrac	150	Шаблон:Sfrac	−Шаблон:Sfrac	−1
Шаблон:Sfrac	150°	Шаблон:Sfrac	Шаблон:Sfrac	Шаблон:Sfrac	−Шаблон:Sfrac	−Шаблон:Sfrac
Шаблон:Sfrac	180°	$\pi$	200	0	−1	0
Шаблон:Sfrac	210°	Шаблон:Sfrac	Шаблон:Sfrac	−Шаблон:Sfrac	−Шаблон:Sfrac	Шаблон:Sfrac
Шаблон:Sfrac	225°	Шаблон:Sfrac	250	−Шаблон:Sfrac	−Шаблон:Sfrac	1
Шаблон:Sfrac	240°	Шаблон:Sfrac	Шаблон:Sfrac	−Шаблон:Sfrac	−Шаблон:Sfrac	Шаблон:Sqrt
Шаблон:Sfrac	270°	Шаблон:Sfrac	300	−1	0
Шаблон:Sfrac	300°	Шаблон:Sfrac	Шаблон:Sfrac	−Шаблон:Sfrac	Шаблон:Sfrac	−Шаблон:Sqrt
Шаблон:Sfrac	315°	Шаблон:Sfrac	350	−Шаблон:Sfrac	Шаблон:Sfrac	−1
Шаблон:Sfrac	330°	Шаблон:Sfrac	Шаблон:Sfrac	−Шаблон:Sfrac	Шаблон:Sfrac	−Шаблон:Sfrac
1	360°	2$\pi$	400	0	1	0

Дальнейшие углы

Таблица значений синуса и косинуса углов с градусной мерой, кратной трём (от 0 до 45°).

Значения тригонометрических функций в углах, не находящихся в промежутке от $0^{\circ }$ до $45^{\circ }$, элементарно выводятся из значений в углах этого промежутка при помощи формул приведения. Все углы записаны в градусах и радианах, при этом число, обратное множителю, стоящему перед $\pi$ в выражении для данного угла, является единственным числом символа Шлефли правильного (возможно, звёздчатого) многоугольника с внешним углом, равным данному.

0° = 0 (rad)

$\sin 0=0$

$\cos 0=1$

$\mathrm{tg}0=0$

$\mathrm{ctg}0=\mathrm{\infty }$

1,5°=(1/120)π (rad)

$\sin \left(\frac{\pi }{120}\right)=\sin (1.5^{\circ })=\frac{\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)(\sqrt{15}+\sqrt{3}-\sqrt{10-2\sqrt{5}})-\left(\sqrt{2-\sqrt{2}}\right)(\sqrt{30-6\sqrt{5}}+\sqrt{5}+1)}{16}$

$\cos \left(\frac{\pi }{120}\right)=\cos (1.5^{\circ })=\frac{\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)(\sqrt{30-6\sqrt{5}}+\sqrt{5}+1)+\left(\sqrt{2-\sqrt{2}}\right)(\sqrt{15}+\sqrt{3}-\sqrt{10-2\sqrt{5}})}{16}$

1,875°=(1/96)π (rad)

$\sin \left(\frac{\pi }{96}\right)=\sin (1.875^{\circ })=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}$

$\cos \left(\frac{\pi }{96}\right)=\cos (1.875^{\circ })=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}$

2,25°=(1/80)π (rad)

$\sin \left(\frac{\pi }{80}\right)=\sin (2.25^{\circ })=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}}}$

$\cos \left(\frac{\pi }{80}\right)=\cos (2.25^{\circ })=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}}}$

2,8125°=(1/64)π (rad)

$\sin \left(\frac{\pi }{64}\right)=\sin (2.8125^{\circ })=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}$

$\cos \left(\frac{\pi }{64}\right)=\cos (2.8125^{\circ })=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}$

3°=(1/60)π (rad)

$\sin \left(\frac{\pi }{60}\right)=\sin \left(3^{\circ }\right)=\frac{2(1-\sqrt{3})\sqrt{5+\sqrt{5}}+(\sqrt{10}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+1)}{16}$

$\cos \left(\frac{\pi }{60}\right)=\cos \left(3^{\circ }\right)=\frac{2(1+\sqrt{3})\sqrt{5+\sqrt{5}}+(\sqrt{10}-\sqrt{2})(\sqrt{3}-1)}{16}$

$\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{60}\right)=\mathrm{tg}\left(3^{\circ }\right)=\frac{[(2-\sqrt{3})(3+\sqrt{5})-2][2-\sqrt{10-2\sqrt{5}}]}{4}$

$\mathrm{ctg}\left(\frac{\pi }{60}\right)=\mathrm{ctg}\left(3^{\circ }\right)=\frac{[(2+\sqrt{3})(3+\sqrt{5})-2][2+\sqrt{10-2\sqrt{5}}]}{4}$

3,75°=(1/48)π (rad)

$\sin \left(\frac{\pi }{48}\right)=\sin (3.75^{\circ })=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}$

$\cos \left(\frac{\pi }{48}\right)=\cos (3.75^{\circ })=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}$

4,5°=(1/40)π (rad)

$\sin \left(\frac{\pi }{40}\right)=\sin (4.5^{\circ })=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}}$

$\cos \left(\frac{\pi }{40}\right)=\cos (4.5^{\circ })=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}}$

5,625°=(1/32)π (rad)

$\sin \left(\frac{\pi }{32}\right)=\sin (5.625^{\circ })=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}$

$\cos \left(\frac{\pi }{32}\right)=\cos (5.625^{\circ })=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}$

6°=(1/30)π (rad)

$\sin \frac{\pi }{30}=\sin 6^{\circ }=\frac{\sqrt{30-\sqrt{180}}-\sqrt{5}-1}{8}$

$\cos \frac{\pi }{30}=\cos 6^{\circ }=\frac{\sqrt{10-\sqrt{20}}+\sqrt{3}+\sqrt{15}}{8}$

$\mathrm{tg}\frac{\pi }{30}=\mathrm{tg}{6}^{\circ }=\frac{\sqrt{10-\sqrt{20}}+\sqrt{3}-\sqrt{15}}{2}$

$\mathrm{ctg}\frac{\pi }{30}=\mathrm{ctg}{6}^{\circ }=\frac{\sqrt{27}+\sqrt{15}+\sqrt{50+\sqrt{2420}}}{2}$

7,5°=(1/24)π (rad)

$\sin \left(\frac{\pi }{24}\right)=\sin (7.5^{\circ })=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}=\frac{1}{4}\sqrt{8-2\sqrt{6}-2\sqrt{2}}$

$\cos \left(\frac{\pi }{24}\right)=\cos (7.5^{\circ })=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}=\frac{1}{4}\sqrt{8+2\sqrt{6}+2\sqrt{2}}$

$\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{24}\right)=\mathrm{tg}(7.5^{\circ })=\sqrt{6}-\sqrt{3}+\sqrt{2}-2=(\sqrt{2}-1)(\sqrt{3}-\sqrt{2})$

$\mathrm{ctg}\left(\frac{\pi }{24}\right)=\mathrm{ctg}(7.5^{\circ })=\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2}+2=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{3}+\sqrt{2})$

9°=(1/20)π (rad)

$\sin \frac{\pi }{20}=\sin 9^{\circ }=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}$

$\cos \frac{\pi }{20}=\cos 9^{\circ }=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}$

$\mathrm{tg}\frac{\pi }{20}=\mathrm{tg}{9}^{\circ }=\sqrt{5}+1-\sqrt{5+2\sqrt{5}}$

$\mathrm{ctg}\frac{\pi }{20}=\mathrm{ctg}{9}^{\circ }=\sqrt{5}+1+\sqrt{5+2\sqrt{5}}$

11,25°=(1/16)π (rad)

$\sin \frac{\pi }{16}=\sin 11.25^{\circ }=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}$

$\cos \frac{\pi }{16}=\cos 11.25^{\circ }=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$

$\mathrm{tg}\frac{\pi }{16}=\mathrm{tg}11.25^{\circ }=\sqrt{4+2\sqrt{2}}-\sqrt{2}-1$

$\mathrm{ctg}\frac{\pi }{16}=\mathrm{ctg}11.25^{\circ }=\sqrt{4+2\sqrt{2}}+\sqrt{2}+1$

12°=(1/15)π (rad)

$\sin \frac{\pi }{15}=\sin 12^{\circ }=\frac{1}{8}[\sqrt{2(5+\sqrt{5})}+\sqrt{3}-\sqrt{15}]$

$\cos \frac{\pi }{15}=\cos 12^{\circ }=\frac{1}{8}[\sqrt{6(5+\sqrt{5})}+\sqrt{5}-1]$

$\mathrm{tg}\frac{\pi }{15}=\mathrm{tg}12^{\circ }=\frac{1}{2}[3\sqrt{3}-\sqrt{15}-\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}]$

$\mathrm{ctg}\frac{\pi }{15}=\mathrm{ctg}12^{\circ }=\frac{1}{2}[\sqrt{15}+\sqrt{3}+\sqrt{2(5+\sqrt{5})}]$

15°=(1/12)π (rad)

$\sin \frac{\pi }{12}=\sin 15^{\circ }=\frac{1}{4}(\sqrt{6}-\sqrt{2})=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{3}}$

$\cos \frac{\pi }{12}=\cos 15^{\circ }=\frac{1}{4}(\sqrt{6}+\sqrt{2})=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{3}}$

$\mathrm{tg}\frac{\pi }{12}=\mathrm{tg}15^{\circ }=2-\sqrt{3}$

$\mathrm{ctg}\frac{\pi }{12}=\mathrm{ctg}15^{\circ }=2+\sqrt{3}$

18°=(1/10)π (rad)

$\sin \frac{\pi }{10}=\sin 18^{\circ }=\frac{1}{4}(\sqrt{5}-1)$

$\cos \frac{\pi }{10}=\cos 18^{\circ }=\frac{1}{4}\sqrt{2(5+\sqrt{5})}$

$\mathrm{tg}\frac{\pi }{10}=\mathrm{tg}18^{\circ }=\frac{1}{5}\sqrt{5(5-2\sqrt{5})}$

$\mathrm{ctg}\frac{\pi }{10}=\mathrm{ctg}18^{\circ }=\sqrt{5+2\sqrt{5}}$

21°=(7/60)π (rad)

$\sin \frac{7\pi }{60}=\sin 21^{\circ }=\frac{1}{16}(2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5-\sqrt{5}}-(\sqrt{6}-\sqrt{2})(1+\sqrt{5}))$

$\cos \frac{7\pi }{60}=\cos 21^{\circ }=\frac{1}{16}(2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5-\sqrt{5}}+(\sqrt{6}+\sqrt{2})(1+\sqrt{5}))$

$\mathrm{tg}\frac{7\pi }{60}=\mathrm{tg}21^{\circ }=\frac{1}{4}(2-(2+\sqrt{3})(3-\sqrt{5}))(2-\sqrt{2(5+\sqrt{5})})$

$\mathrm{ctg}\frac{7\pi }{60}=\mathrm{ctg}21^{\circ }=\frac{1}{4}(2-(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5}))(2+\sqrt{2(5+\sqrt{5})})$

22,5°=(1/8)π (rad)

$\sin \frac{\pi }{8}=\sin 22.5^{\circ }=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}},$

$\cos \frac{\pi }{8}=\cos 22.5^{\circ }=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}$

$\mathrm{tg}\frac{\pi }{8}=\mathrm{tg}22.5^{\circ }=\sqrt{2}-1$

$\mathrm{ctg}\frac{\pi }{8}=\mathrm{ctg}22.5^{\circ }=\sqrt{2}+1={\delta }_S$, серебряное сечение

24°=(2/15)π (rad)

$\sin \frac{2\pi }{15}=\sin 24^{\circ }=\frac{1}{8}[\sqrt{15}+\sqrt{3}-\sqrt{2(5-\sqrt{5})}]$

$\cos \frac{2\pi }{15}=\cos 24^{\circ }=\frac{1}{8}(\sqrt{6(5-\sqrt{5})}+\sqrt{5}+1)$

$\mathrm{tg}\frac{2\pi }{15}=\mathrm{tg}24^{\circ }=\frac{1}{2}[\sqrt{50+22\sqrt{5}}-3\sqrt{3}-\sqrt{15}]$

$\mathrm{ctg}\frac{2\pi }{15}=\mathrm{ctg}24^{\circ }=\frac{1}{2}[\sqrt{15}-\sqrt{3}+\sqrt{2(5-\sqrt{5})}]$

27°=(3/20)π (rad)

$\sin \frac{3\pi }{20}=\sin 27^{\circ }=\frac{1}{8}[2\sqrt{5+\sqrt{5}}-\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)]$

$\cos \frac{3\pi }{20}=\cos 27^{\circ }=\frac{1}{8}[2\sqrt{5+\sqrt{5}}+\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)]$

$\mathrm{tg}\frac{3\pi }{20}=\mathrm{tg}27^{\circ }=\sqrt{5}-1-\sqrt{5-2\sqrt{5}}$

$\mathrm{ctg}\frac{3\pi }{20}=\mathrm{ctg}27^{\circ }=\sqrt{5}-1+\sqrt{5-2\sqrt{5}}$

30°=(1/6)π (rad)

$\sin \frac{\pi }{6}=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$

$\cos \frac{\pi }{6}=\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}=\mathrm{tg}30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\mathrm{ctg}\frac{\pi }{6}=\mathrm{ctg}30^{\circ }=\sqrt{3}$

33°=(11/60)π (rad)

$\sin \frac{11\pi }{60}=\sin 33^{\circ }=\frac{1}{16}[2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5+\sqrt{5}}+\sqrt{2}(1+\sqrt{3})(\sqrt{5}-1)]$

$\cos \frac{11\pi }{60}=\cos 33^{\circ }=\frac{1}{16}[2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5+\sqrt{5}}+\sqrt{2}(1-\sqrt{3})(\sqrt{5}-1)]$

$\mathrm{tg}\frac{11\pi }{60}=\mathrm{tg}33^{\circ }=\frac{1}{4}[2-(2-\sqrt{3})(3+\sqrt{5})][2+\sqrt{2(5-\sqrt{5})}]$

$\mathrm{ctg}\frac{11\pi }{60}=\mathrm{ctg}33^{\circ }=\frac{1}{4}[2-(2+\sqrt{3})(3+\sqrt{5})][2-\sqrt{2(5-\sqrt{5})}]$

36°=(1/5)π (rad)

$\sin \frac{\pi }{5}=\sin 36^{\circ }=\frac{1}{4}\sqrt{10-2\sqrt{5}}$

$\cos \frac{\pi }{5}=\cos 36^{\circ }=\frac{\sqrt{5}+1}{4}=\frac{\phi }{2},$ где $\phi$ — золотое сечение;

$\mathrm{tg}\frac{\pi }{5}=\mathrm{tg}36^{\circ }=\sqrt{5-2\sqrt{5}}$

$\mathrm{ctg}\frac{\pi }{5}=\mathrm{ctg}36^{\circ }=\frac{1}{5}\sqrt{25+10\sqrt{5}}$

39°=(13/60)π (rad)

$\sin \frac{13\pi }{60}=\sin 39^{\circ }=\frac{1}{16}[2(1-\sqrt{3})\sqrt{5-\sqrt{5}}+\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}+1)]$

$\cos \frac{13\pi }{60}=\cos 39^{\circ }=\frac{1}{16}[2(1+\sqrt{3})\sqrt{5-\sqrt{5}}+\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}+1)]$

$\mathrm{tg}\frac{13\pi }{60}=\mathrm{tg}39^{\circ }=\frac{1}{4}[(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})-2][2-\sqrt{2(5+\sqrt{5})}]$

$\mathrm{ctg}\frac{13\pi }{60}=\mathrm{ctg}39^{\circ }=\frac{1}{4}[(2+\sqrt{3})(3-\sqrt{5})-2][2+\sqrt{2(5+\sqrt{5})}]$

42°=(7/30)π (rad)

$\sin \frac{7\pi }{30}=\sin 42^{\circ }=\frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}-\sqrt{5}+1}{8}$

$\cos \frac{7\pi }{30}=\cos 42^{\circ }=\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8}$

$\mathrm{tg}\frac{7\pi }{30}=\mathrm{tg}42^{\circ }=\frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2}$

$\mathrm{ctg}\frac{7\pi }{30}=\mathrm{ctg}42^{\circ }=\frac{\sqrt{50-22\sqrt{5}}+3\sqrt{3}-\sqrt{15}}{2}$

45°=(1/4)π (rad)

$\sin \frac{\pi }{4}=\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos \frac{\pi }{4}=\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=\mathrm{tg}45^{\circ }=1$

$\mathrm{ctg}\frac{\pi }{4}=\mathrm{ctg}45^{\circ }=1$

54°=(3/10)π (rad)

$\sin \frac{3\pi }{10}=\sin 54^{\circ }=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$

$\cos \frac{3\pi }{10}=\cos 54^{\circ }=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$

$\mathrm{tg}\frac{3\pi }{10}=\mathrm{tg}54^{\circ }=\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5}$

$\mathrm{ctg}\frac{3\pi }{10}=\mathrm{ctg}54^{\circ }=\sqrt{5-\sqrt{20}}$

60°=(1/3)π (rad)

$\sin \frac{\pi }{3}=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos \frac{\pi }{3}=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$

$\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\mathrm{tg}60^{\circ }=\sqrt{3}$

$\mathrm{ctg}\frac{\pi }{3}=\mathrm{ctg}60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

67,5°=(3/8)π (rad)

$\sin \frac{3\pi }{8}=\sin 67.5^{\circ }=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}$

$\cos \frac{3\pi }{8}=\cos 67.5^{\circ }=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}$

$\mathrm{tg}\frac{3\pi }{8}=\mathrm{tg}67.5^{\circ }=\sqrt{2}+1$

$\mathrm{ctg}\frac{3\pi }{8}=\mathrm{ctg}67.5^{\circ }=\sqrt{2}-1$

72°=(2/5)π (rad)

$\sin \frac{2\pi }{5}=\sin 72^{\circ }=\frac{1}{4}\sqrt{2(5+\sqrt{5})}$

$\cos \frac{2\pi }{5}=\cos 72^{\circ }=\frac{1}{4}(\sqrt{5}-1)=\frac{\phi -1}{2},$ где $\phi$ — золотое сечение;

$\mathrm{tg}\frac{2\pi }{5}=\mathrm{tg}72^{\circ }=\sqrt{5+2\sqrt{5}}$

$\mathrm{ctg}\frac{2\pi }{5}=\mathrm{ctg}72^{\circ }=\frac{1}{5}\sqrt{5(5-2\sqrt{5})}$

75°=(5/12)π (rad)

$\sin \frac{5\pi }{12}=\sin 75^{\circ }=\frac{1}{4}(\sqrt{6}+\sqrt{2})$

$\cos \frac{5\pi }{12}=\cos 75^{\circ }=\frac{1}{4}(\sqrt{6}-\sqrt{2})$

$\mathrm{tg}\frac{5\pi }{12}=\mathrm{tg}75^{\circ }=2+\sqrt{3}$

$\mathrm{ctg}\frac{5\pi }{12}=\mathrm{ctg}75^{\circ }=2-\sqrt{3}$

90°=(1/2)π (rad)

$\sin \frac{\pi }{2}=\sin 90^{\circ }=1$

$\cos \frac{\pi }{2}=\cos 90^{\circ }=0$

$\mathrm{tg}\frac{\pi }{2}=\mathrm{tg}90^{\circ }=\mathrm{\infty }$

$\mathrm{ctg}\frac{\pi }{2}=\mathrm{ctg}90^{\circ }=0$

Список значений тригонометрических функций от аргумента, равного 2π/n

Приведены только формулы, не использующие корней степени больше $5$. Так как (по теореме Муавра) в множестве комплексных чисел извлечение корня целой степени n приводит к n различным значениям, то для корней 3-й и 5-й степеней от невещественных чисел, появляющихся в этом разделе ниже, следует брать главное значение, равное корню с наибольшей действительной частью: она всегда положительна. Следовательно, суммы корней 3-й или 5-й степени от комплексно сопряжённых чисел, появляющиеся в таблице, тоже положительны. Тангенс приведён в тех случаях, когда его можно записать сильно проще, чем отношение записей синуса и косинуса.

В некоторых случаях ниже используются два числа ${\omega }_3=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2},{\omega }_5=\frac{1}{4}(-1+\sqrt{5}+i\sqrt{10+2\sqrt{5}})$, обладающие таким свойством, что ${\omega }_3^3={\omega }_5^5=1$. $\begin{array}{cccc}n& \sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)& \cos \left(\frac{2\pi }{n}\right)& \mathrm{tg}\left(\frac{2\pi }{n}\right)\\ 1& 0& 1& 0\\ 2& 0& -1& 0\\ 3& \frac{1}{2}\sqrt{3}& -\frac{1}{2}& -\sqrt{3}\\ 4& 1& 0& \pm \mathrm{\infty }\\ 5& \frac{1}{4}\left(\sqrt{10+2\sqrt{5}}\right)& \frac{1}{4}(\sqrt{5}-1)& \sqrt{5+2\sqrt{5}}\\ 6& \frac{1}{2}\sqrt{3}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}\\ 7& \frac{1}{6}\sqrt{3(7-\overline{{\omega }_3}\sqrt[3]{\frac{7+21i\sqrt{3}}{2}}-{\omega }_3\sqrt[3]{\frac{7-21i\sqrt{3}}{2}})}& \frac{1}{6}(-1+\sqrt[3]{\frac{7+21i\sqrt{3}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{7-21i\sqrt{3}}{2}})& \\ 8& \frac{1}{2}\sqrt{2}& \frac{1}{2}\sqrt{2}& 1\\ 9& \frac{i}{2}(\sqrt[3]{\overline{{\omega }_3}}-\sqrt[3]{{\omega }_3})& \frac{1}{2}(\sqrt[3]{{\omega }_3}+\sqrt[3]{\overline{{\omega }_3}})& \\ 10& \frac{1}{4}\left(\sqrt{10-2\sqrt{5}}\right)& \frac{1}{4}(\sqrt{5}+1)& \sqrt{5-2\sqrt{5}}\\ 11& & & \\ 12& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\sqrt{3}& \frac{1}{3}\sqrt{3}\\ 13& \frac{1}{12}\sqrt{6(13-\sqrt{13}-\sqrt[3]{4(26-5\sqrt{13}-3i\sqrt{39})}-\sqrt[3]{4(26-5\sqrt{13}+3i\sqrt{39})})}& \frac{1}{12}(-1+\sqrt{13}+\sqrt[3]{4(26-5\sqrt{13}-3i\sqrt{39})}+\sqrt[3]{4(26-5\sqrt{13}+3i\sqrt{39})})& \\ 14& \frac{1}{6}\sqrt{3(7-\sqrt[3]{\frac{7+21i\sqrt{3}}{2}}-\sqrt[3]{\frac{7-21i\sqrt{3}}{2}})}& \frac{1}{6}(1-{\omega }_3\sqrt[3]{\frac{7+21i\sqrt{3}}{2}}-\overline{{\omega }_3}\sqrt[3]{\frac{7-21i\sqrt{3}}{2}})& \\ 15& \frac{1}{8}(\sqrt{15}+\sqrt{3}-\sqrt{10-2\sqrt{5}})& \frac{1}{8}(1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}})& \frac{1}{2}(-3\sqrt{3}-\sqrt{15}+\sqrt{50+22\sqrt{5}})\\ 16& \frac{1}{2}\left(\sqrt{2-\sqrt{2}}\right)& \frac{1}{2}\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)& \sqrt{2}-1\\ 17& & \frac{1}{16}(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}})& \\ 18& \frac{i}{2}(\sqrt[3]{-{\omega }_3}-\sqrt[3]{-\overline{{\omega }_3}})& \frac{1}{2}(\sqrt[3]{-{\omega }_3}+\sqrt[3]{-\overline{{\omega }_3}})& \\ 19& & & \\ 20& \frac{1}{4}(\sqrt{5}-1)& \frac{1}{4}\left(\sqrt{10+2\sqrt{5}}\right)& \frac{1}{5}\left(\sqrt{25-10\sqrt{5}}\right)\\ 21& & & \\ 22& & & \\ 23& & & \\ 24& \frac{1}{4}(\sqrt{6}-\sqrt{2})& \frac{1}{4}(\sqrt{6}+\sqrt{2})& 2-\sqrt{3}\\ 25& \frac{i}{2}(\sqrt[5]{\overline{{\omega }_5}}-\sqrt[5]{{\omega }_5})& \frac{1}{2}(\sqrt[5]{{\omega }_5}+\sqrt[5]{\overline{{\omega }_5}})& \end{array}$

Доказательство

Одно из общих и наглядных методов вывести формулы для $x=\cos \frac{2\pi o}{n}+i\sin \frac{2\pi o}{n}$ (n и o — целые числа) — это решить уравнение xⁿ = 1, то есть найти комплексные корни из 1. При этом сами косинус и синус равны $\frac{x+1/x}{2}$ и $\frac{x-1/x}{2i}$ соответственно. Данный метод обосновывается теоремой Муавра:

если $r>0$ — модуль, а $\alpha \in ℝ$ — аргумент комплексного числа, то все корни целой степени $n\ne 0$ от $r(\cos \alpha +i\sin \alpha )$ выражаются числами $\sqrt[n]{r}[\cos (\frac{\alpha }{n}+\frac{2\pi o}{n})+i\sin (\frac{\alpha }{n}+\frac{2\pi o}{n})],$ где $o$ пробегает множество целых чисел $\mathbb{Z}.$

В свою очередь, эта теорема доказывается утверждением, что при умножении комплексных чисел их модули умножаются, а аргументы — складываются (последнее равносильно тригонометрическим тождествам для суммы):

$[r(\cos \alpha +i\sin \alpha )]\cdot [s(\cos \beta +i\sin \beta )]=(rs)\cdot [\cos (\alpha +\beta )+i\sin (\alpha +\beta )].$

Среди корней натуральной степени n из 1 есть те, которые не являются корнями никакой другой натуральной степени m < n из 1, — они называются первообразными, или примитивными, корнями n-й степени из 1. А многочлен, в качестве своих корней содержащий только примитивные радикалы из 1, причём с единичной кратностью, называется круговым. Для корней n-й степени из 1 степень кругового многочлена равна φ(n), где φ — функция Эйлера, и обязательно чётна при n ≥ 3, поскольку при n ≥ 3 все первообразные корни (среди которых уже нет ±1) невещественны и образуют комплексно сопряжённые пары.

При n ≥ 2 круговой полином является симметричным, то есть все его коэффициенты отражаются относительно степени φ(n)/2. Если n ≥ 3, то, чтобы решить уравнение с круговым многочленом s_φ(n)(x) = 0 чётной степени φ(n), симметричный полином s_φ(n)(x) надо разделить на x^φ(n)/2, а затем сгруппировать по степеням числа x + 1/x (это возможно из-за симметричности), которое, как совпадение, и оказывается искомым косинусом, умноженным на 2.

Пример 1: n = 3

Способ 1 — решение уравнения 2-й степени по общему методу

Полином $x^3-1$ раскладывается на круговые множители $x-1$ и $x^2+x+1,$ у первого из каких корень равен 1, а второй является полиномом 2-й степени. И в общем случае, чтобы решить квадратное уравнение, надо поделить многочлен на старший коэффициент (здесь он равен 1), а затем выделить точный квадрат так, чтобы избавиться от слагаемого-одночлена той степени, которая меньше степени полинома на 1, — то есть привести многочленное уравнение к каноническому виду:

$x^2+x=-1,$

$(x+\frac{1}{2}{)}^2=-\frac{3}{4},$

$(x+\frac{1}{2}{)}^2+\frac{3}{4}=0$ (канонический вид).

В итоге в совокупности с уравнением $x-1=0$ получается, что

$x=1$ или $x=\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}.$

Способ 2 — сведение уравнения к уравнению 1-й степени

Вместо того, чтобы решать уравнение $x^2+x+1=0$ как квадратное, симметричный многочлен $x^2+x+1$ можно поделить на x, сгруппировать относительно x + 1/x, учитывая, что x + 1/x — это искомый косинус, умноженный на 2:

$(x+\frac{1}{x})+1=0,$

$x+\frac{1}{x}=-1,$

$x=\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}.$

Пример 2: n = 5

Круговой полином равен $x^4+x^3+x^2+x+1,$ и, чтобы найти его корни, его нужно поделить на x², сгруппировать по степеням x + 1/x (сведя к квадратному полиному) и приравнять 0:

$x^2+x+1+x^{-1}+x^{-2}=0,$

$(x+\frac{1}{x}{)}^2+(x+\frac{1}{x})-1=0,$

$x+\frac{1}{x}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$ (искомый косинус, умноженный на 2),

$x=\frac{-1{\pm }_1\sqrt{5}}{4}{\pm }_2\frac{i}{4}\sqrt{10{\pm }_{1}2\sqrt{5}}.$

Пример 3: n = 7

Условные обозначения. Обозначим $\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}$ как ${\omega }_n.$

Шаг 1 — приведение уравнения к канонической форме

Проведя с круговым многочленом $x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$ преобразования, аналогичные каким представлены для n = 5, получаем уравнение 3-й степени $(x+\frac{1}{x}{)}^3+(x+\frac{1}{x}{)}^2-2(x+\frac{1}{x})-1=0.$ Далее, как и в случае с квадратным уравнением, это уравнение нужно привести к каноническому виду, то есть поделить обе части уравнения на старший коэффициент (единицу) и затем выделить точный куб, избавившись от слагаемого той степени, которая меньше степени многочлена на 1:

$(x+\frac{1}{x}{)}^3+(x+\frac{1}{x}{)}^2=2(x+\frac{1}{x})+1,$

$[(x+\frac{1}{x})+\frac{1}{3}{]}^3=\frac{7}{3}[(x+\frac{1}{x})+\frac{1}{3}]+\frac{7}{27},$

$(x+\frac{1}{3}+\frac{1}{x}{)}^3-\frac{7}{3}(x+\frac{1}{3}+\frac{1}{x})-\frac{7}{27}=0$ (каноническая форма).

Шаг 2 — метод дель Ферро

Метод решения канонических кубических уравнений вошёл в историю под именем Джероламо Кардано, но впервые был открыт Сципионом дель Ферро. Он заключается в следующем: заменим искомую переменную ($x+\frac{1}{3}+x^{-1}$) на сумму $v+w$:

$(v^3+3v^{2}w+3v{w}^2+w^3)-\frac{7}{3}(v+w)-\frac{7}{27}=0,$

а затем зададим между v и w такую зависимость, чтобы уравнение можно было свести к менее чем 3-й степени. Тогда оказывается, что в числе $3v^{2}w+3v{w}^2-\frac{7}{3}(v+w)=(3vw-\frac{7}{3})(v+w)$ множитель $3vw-\frac{7}{3}$ надо приравнять нулю. В таком случае $w=\frac{7}{9v}$ и $\frac{1}{2}(x+x^{-1})=\frac{1}{2}(\frac{-1}{3}+v+w)=\frac{1}{2}(\frac{-1}{3}+v+\frac{7}{9v})$ (сам косинус), а само кубическое уравнение сокращается до квадратного:

$v^3-\frac{7}{3^3}+\frac{7^3}{3^6}{v}^{-3}=0,$

$v^3=\frac{7}{2\cdot 3^3}\pm i\sqrt{\frac{7^3}{3^6}-\frac{7^2}{2^2{3}^6}}=\frac{7\pm 7i\sqrt{2^{2}7-1}}{2\cdot 3^3}=\frac{7\pm 21i\sqrt{3}}{2\cdot 3^3},$

а с учётом главных значений кубических корней получается:

$v=\frac{{\omega }_3^m}{3}\sqrt[3]{\frac{7\pm 21i\sqrt{3}}{2}},\frac{7}{9v}=\frac{{\omega }_3^{-m}}{3}\sqrt[3]{\frac{7\mp 21i\sqrt{3}}{2}},$ где $m\in \mathbb{Z},$

$\cos \frac{2\pi o}{7}=\frac{1}{6}(-1+{\omega }_3^{-m}\sqrt[3]{\frac{7+21i\sqrt{3}}{2}}+{\omega }_3^m\sqrt[3]{\frac{7-21i\sqrt{3}}{2}}),$

где o = 1 (o = 6) соответствует m = 0, o = 2 (o = 5) — m = 1, а o = 3 (o = 4) — m = 2.

Шаг 3 — синус

Синус лучше всего искать не по основному тригонометрическому тождеству, а по формуле половинного угла $\sin \frac{2\pi o}{7}=\pm \sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos \frac{4\pi o}{7}},$ иначе появятся квадраты чисел $\sqrt[3]{\frac{1}{2}(7\pm 21i\sqrt{3})},$ и упрощение станет неочевидное. В итоге все примитивные корни 7-й степени из 1 равны

$\frac{1}{6}[-1+w+\bar{w}\pm i\sqrt{3(7-\overline{{\omega }_3}w-{\omega }_3\bar{w})}],$

где $2w^3=7+21i\sqrt{3}.$

Пример 4: n = 3² = 9

Условное обозначение. Обозначим $\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}$ как ${\omega }_n.$

Число 9 раскладывается на простые множители как 3², так что многочлен $x^9-1$ можно разложить на круговые множители как $(x-1)(x^2+x+1)(x^6+x^3+1).$ Корни последнего из них представляют собой корни 3-й степени из чисел (корней многочлена $x^2+x+1$), которые, в свою очередь, являются первообразными корнями 3-й степени из 1, то есть первообразные корни 9-й степени из 1 равны

$x={\omega }_3^m\sqrt[3]{{\omega }_3^{\pm 1}},$ где $m\in \{0,1,2\}.$

Тогда (с учётом главных значений кубических корней) «первообразные» косинусы и синусы выражаются как

$\frac{1}{2}(x+\frac{1}{x})=\frac{1}{2}({\omega }_3^m\sqrt[3]{{\omega }_3^{\pm 1}}+{\omega }_3^{-m}\sqrt[3]{{\omega }_3^{\mp 1}}),$

$\frac{1}{2i}(x-\frac{1}{x})=\frac{i}{2}({\omega }_3^{-m}\sqrt[3]{{\omega }_3^{\mp 1}}+{\omega }_3^m\sqrt[3]{{\omega }_3^{\pm 1}}),$

Пример 5: n = 2 · 7 = 14

Условное обозначение: ${\omega }_n:=\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}.$

У полинома $x^{14}-1=(x^7-1)(x^7+1)$ круговые множители таковы:

• $x-1$ (круговой полином для 1-й степени);
• $x+1$ (круговой полином для 2-й степени);
• $x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$ (для 7-й степени);
• $x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1$ (для 14-й степени).

Корни полинома $x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1$ точно противоположны корням полинома $x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$ (это можно доказать с помощью замены переменной на противоположную ей или по теореме Виета) и, следовательно, выглядят так:

$\frac{1}{6}[1-w-\bar{w}\pm i\sqrt{3(7-\overline{{\omega }_3}y-{\omega }_3\bar{w})}],$

где $2w^3=7+21i\sqrt{3}.$

Пример 6: n = 3 · 5 = 15

Круговой многочлен $x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1$ не очень прост, и вместо того, чтобы искать его корни, лучше разложить угол $\frac{2\pi o}{3\cdot 5}$ (o — целое число) как сумму $\frac{2\pi }{3}{o}_1+\frac{2\pi }{5}{o}_2,$ где o₁ и o₂ — некоторые целые числа.

Примечание. В отличие от 15, в факторизации числа 9 участвует один и тот же множитель двойной кратности — и в отличие от $\frac{2\pi o}{3\cdot 5}$ угол $\frac{2\pi o}{3^2}$ не всегда можно разложить в виде $\frac{2\pi o_1}{3}+\frac{2\pi o_2}{3}$ (o, o₁ и o₂ — целые числа).

Разложив угол на сумму углов, можно вычислять косинус и синус:

$\cos (\frac{2\pi o_1}{3}+\frac{2\pi o_2}{5})+i\sin (\frac{2\pi o_1}{3}+\frac{2\pi o_2}{5})=$

$=(\cos \frac{2\pi o_1}{3}+i\sin \frac{2\pi o_1}{3})(\cos \frac{2\pi o_2}{5}+i\sin \frac{2\pi o_2}{5})=$

$={\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)}^{o_1}{[\frac{1}{4}(-1+\sqrt{5}+i\sqrt{10+2\sqrt{5}})]}^{o_2}.$

Например, если o = 1, то в качестве o₁ и o₂ можно выбрать −1 и 2 соответственно. Тогда

$\cos \frac{2\pi }{15}+i\sin \frac{2\pi }{15}=\frac{1}{8}(-1-i\sqrt{3})(-1-\sqrt{5}+i\sqrt{10-2\sqrt{5}})=$

$=\frac{1}{8}[1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}+i(\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}})].$

Пример 7: n = 17

Шаг 1

Поскольку данное число Ферма является простым, то, как и в случае n = 3, n = 5 и n = 7, в первую очередь нужно круговой полином $x^{16}+\cdots +x+1$ поделить на x⁸ и заменить на некоторую переменную b = x + 1/x ― получим $b^8+b^7+\cdots -4b+1.$

Условное обозначение. Обозначим корни многочлена $b^8+b^7+\cdots -4b+1$ как $b_{o/17}=2\cos \frac{2\pi o}{17}.$

Шаг 2

Корни полинома $b^8+b^7+\cdots -4b+1$ лучше всего найти не через его коэффициенты, а пользуясь тем, что его корни ― удвоенные косинусы. Для этого нужно некоторым образом распределить все его корни по двум суммам S₁ и S₂, найти S₁ + S₂ и S₁S₂ и по теореме Виета вывести для S₁ и S₂ уравнение, решив которое и получим S₁ и S₂.

Если поточнее, корни полинома $b^8+b^7+\cdots -4b+1$ нужно распределять по степеням двойки:

• $S_1=b_{2^0/17}+b_{2^1/17}+b_{2^2/17}+b_{2^3/17}=b_{1/17}+b_{2/17}+b_{4/17}+b_{8/17};$
• $S_2=b_{3\cdot 2^0/17}+b_{3\cdot 2^1/17}+b_{3\cdot 2^2/17}+b_{3\cdot 2^3/17}=b_{3/17}+b_{6/17}+b_{5/17}+b_{7/17}.$

Сумма S₁ + S₂ равна сумме всех корней $b^8+b^7+\cdots -4b+1,$ а значит, по теореме Виета равна −1, а произведение находится по формуле косинуса произведения $(2\cos \alpha )(2\cos \beta )=[2\cos (\alpha +\beta )]+[2\cos (\pm \alpha \mp \beta )]:$

$(b_{1/17}+b_{2/17}+b_{4/17}+b_{8/17})(b_{3/17}+b_{6/17}+b_{5/17}+b_{7/17})=$

$=\underset{\text{16 слагаемых}}{\underbrace{(b_{1/17}{b}_{3/17})+\cdots +(b_{8/17}{b}_{7/17})}}=\underset{\text{32 слагаемых, включая внутри скобок}}{\underbrace{(b_{4/17}+b_{2/17})+\cdots +(b_{15/17}+b_{1/17})}}$ (по формуле косинуса произведения)

$=2\underset{\text{16 слагаемых}}{\underbrace{(b_{1/17}+b_{2/17}+\cdots +b_{15/17}+b_{16/17})}}=4(S_1+S_2)=-4.$

Тогда получается квадратное уравнение $S^2+S-4=0$ с корнями $\frac{-1\pm \sqrt{17}}{2},$ причём они распределяются так:

• $S_1=b_{1/17}+b_{2/17}+b_{4/17}+b_{8/17}=\frac{-1+\sqrt{17}}{2};$
• $S_2=b_{3/17}+b_{6/17}+b_{5/17}+b_{7/17}=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}.$

Шаг 3

Слагаемые, заключённые в S₁ и S₂, снова надо распределить пополам по суммам, причём по степеням четвёрки — и образуются четыре числа:

• $T_{1.1}=b_{2^0/17}+b_{2^2/17}=b_{1/17}+b_{4/17};$
• $T_{1.2}=b_{2^1/17}+b_{2^3/17}=b_{2/17}+b_{8/17};$
• $T_{2.1}=b_{3\cdot 2^0/17}+b_{3\cdot 2^2/17}=b_{3/17}+b_{5/17};$
• $T_{2.2}=b_{3\cdot 2^1/17}+b_{3\cdot 2^3/17}=b_{6/17}+b_{7/17}.$

Сумма $T_{m.1}+T_{m.2}$ (где m пробегает множество {1, 2}) равна $S_m=\frac{-1\pm \sqrt{17}}{2},$ а произведение $T_{m.1}{T}_{m.2}$ (по той же формуле $\cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )+\cos (\pm \alpha \mp \beta )]$) равно −1 (при m = 1 и при m = 2), а значит, здесь по теореме Виета мы получаем квадратное уравнение $T_m^2-S_m{T}_m-1=0$ для T:

• $T_{1.1}=\frac{1}{4}(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}});$
• $T_{1.2}=\frac{1}{4}(-1+\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}});$
• $T_{2.1}=\frac{1}{4}(-1-\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}});$
• $T_{2.2}=\frac{1}{4}(-1-\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}).$

Шаг 4

Во 2-м и 3-м этапах мы каждый раз «дробили» суммы пополам. Здесь мы сделаем то же самое и таким образом уже дойдём до самих корней (чисел b_o/17). Суммы равны:

• $b_{1/17}+b_{4/17}=T_{1.1};$
• $b_{2/17}+b_{8/17}=T_{1.2};$
• $b_{3/17}+b_{5/17}=T_{2.1};$
• $b_{6/17}+b_{7/17}=T_{2.2},$

а соответствующие произведения:

• $b_{1/17}{b}_{4/17}=b_{5/17}+b_{3/17}=T_{2.1};$
• $b_{2/17}{b}_{8/17}=b_{10/17}+b_{6/17}=T_{2.2};$
• $b_{3/17}{b}_{5/17}=b_{8/17}+b_{2/17}=T_{1.2};$
• $b_{6/17}{b}_{7/17}=b_{13/17}+b_{1/17}=T_{1.1}.$

Составив все требуемые квадратные уравнения, получаем искомые косинусы:

• $b_{1/17}/2$ или $b_{4/17}/2$ — $\frac{1}{16}(16-N+\sqrt{2N}\pm 2\sqrt{2M-N-\sqrt{2N}-2\sqrt{2M}});$
• $b_{2/17}/2$ или $b_{8/17}/2$ — $\frac{1}{16}(16-N-\sqrt{2N}\pm 2\sqrt{2M-N+\sqrt{2N}+2\sqrt{2M}});$
• $b_{3/17}/2,b_{5/17}/2$ — $\frac{1}{16}(16-M+\sqrt{2M}\pm 2\sqrt{2N-M-\sqrt{2M}+2\sqrt{2N}});$
• $b_{6/17}/2,b_{7/17}/2$ — $\frac{1}{16}(16-M-\sqrt{2M}\pm 2\sqrt{2N-M+\sqrt{2M}-2\sqrt{2N}});$

где $M=17+\sqrt{17},N=17-\sqrt{17}$.

Пример 8: n = 13

Нужно круговой полином $x^{12}+\cdots +x+1$ поделить на x⁶ и заменить x + 1/x на некоторую переменную b ― получается полином $b^6+b^5-5b^4-4b^3+6b^2+3b-1.$ Между 7-м примером (n = 17) и данным (n = 13) есть некоторые сходства: во-первых, 13 и 17 оба простые числа, а во-вторых, степени многочленов $b^6+b^5-5b^4-4b^3+6b^2+3b-1$ (который соответствует n = 13) и $b^8+b^7+\cdots -4b+1$ (n = 17) являются составными числами — поэтому возникает такое подозрение, что корни полинома $b^6+b^5-5b^4-4b^3+6b^2+3b-1$ нужно найти по тому же принципу, какой был в 7-м примере: причём здесь нужно сначала вывести и решить квадратное уравнение, а лишь потом — кубическое.

Условное обозначение. Обозначим корни полинома $b^6+b^5-5b^4-4b^3+6b^2+3b-1$ как $b_{o/13}=2\cos \frac{2\pi o}{13}.$

Шаг 1

Распределим все шесть корней указанного полинома по двум суммам S₁, S₂ и по степеням тройки:

• $S_1=x_{3^0/13}+x_{3^1/13}+x_{3^2/13}=x_{1/13}+x_{3/13}+x_{4/13};$
• $S_2=x_{2\cdot 3^0/13}+x_{2\cdot 3^1/13}+x_{2\cdot 3^2/13}=x_{2/13}+x_{6/13}+x_{5/13}$

и вычислим следующие величины с помощью тождества $(2\cos \alpha )(2\cos \beta )=[2\cos (\alpha +\beta )]+[2\cos (\pm \alpha \mp \beta )]:$

• $S_1+S_2=-1;$
• $\begin{array}{cc}{S}_1{S}_2& =(b_{1/13}+b_{3/13}+b_{4/13})(b_{2/13}+b_{6/13}+b_{5/13})\\ & =b_{1/13}{b}_{2/13}+b_{1/13}{b}_{6/13}+b_{1/13}{b}_{5/13}\\ & +b_{3/13}{b}_{2/13}+b_{3/13}{b}_{6/13}+b_{3/13}{b}_{5/13}\\ & +b_{4/13}{b}_{2/13}+b_{4/13}{b}_{6/13}+b_{4/13}{b}_{5/13}\\ & =(b_{3/13}+b_{1/13})+(b_{7/13}+b_{5/13})+(b_{6/13}+b_{4/13})\\ & +(b_{5/13}+b_{1/13})+(b_{9/13}+b_{3/13})+(b_{8/13}+b_{2/13})\\ & +(b_{6/13}+b_{2/13})+(b_{10/13}+b_{2/13})+(b_{9/13}+b_{1/13})\\ & =3(b_{1/13}+b_{2/13}+b_{3/13}+b_{4/13}+b_{5/13}+b_{6/13})=3(S_1+S_2)=-3,\\ \end{array}$

получив уравнение $S^2+S-3=0$, решив которое получаем: $S_1=b_{1/13}+b_{3/13}+b_{4/13}=\frac{-1+\sqrt{13}}{2},$ $S_2=b_{2/13}+b_{6/13}+b_{5/13}=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}.$

Шаг 2

S₁ и S₂ известны — теперь с помощью них нужно вывести кубические уравнения относительно b. Для демонстрации выберем, например, корни, входящие в сумму S₁. Тогда нужно найти следующие величины:

• $b_{1/13}+b_{3/13}+b_{4/13}=S_1=\frac{-1+\sqrt{13}}{2};$
• $b_{1/13}{b}_{3/13}+b_{3/13}{b}_{4/13}+b_{4/13}{b}_{1/13}=b_{4/13}+b_{2/13}+b_{7/13}+b_{1/13}+b_{5/13}+b_{3/13}=S_1+S_2=-1;$
• $b_{1/13}{b}_{3/13}{b}_{4/13}=(b_{4/13}+b_{2/13})b_{4/13}=b_{4/13}^2+b_{2/13}{b}_{4/13}=(2+b_{8/13})+(b_{6/13}+b_{2/13})=2+S_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2},$

чтобы по теореме Виета получить уравнение. Если в совокупности с корнями, входящими в S₁, включить корни, входящие в S₂, — в результате получится уравнение $b^3-\frac{-1\pm \sqrt{13}}{2}{b}^2-b+\frac{-3\pm \sqrt{13}}{2}=0$.

Шаг 3 — приведение к канонической форме

$(b-\frac{-1\pm \sqrt{13}}{6}{)}^3+\frac{-13\pm \sqrt{13}}{6}(b-\frac{1\pm \sqrt{13}}{6})+\frac{-26\pm 5\sqrt{13}}{27}=0$ (каноническая форма) $|\cdot 6^3,$

$[6b-(-1\pm \sqrt{13}){]}^3+6(-13\pm \sqrt{13})[6b-(-1\pm \sqrt{13})]+8(-26\pm 5\sqrt{13})=0$ (чтобы в ответе знаменатель сразу был вынесен из-под корня).

Шаг 4 — решение канонического уравнения

$\begin{array}{cc}6b-(-1\pm \sqrt{13})& ={\omega }_3^m\sqrt[3]{-\frac{8(-26\pm 5\sqrt{13})}{2}-\sqrt{{\frac{8(-26\pm 5\sqrt{13})}{2}}^2+{\frac{6(-13\pm \sqrt{13})}{3}}^3}}\\ & +{\omega }_3^{-m}\sqrt[3]{-\frac{8(-26\pm 5\sqrt{13})}{2}+\sqrt{{\frac{8(-26\pm 5\sqrt{13})}{2}}^2+{\frac{6(-13\pm \sqrt{13})}{3}}^3}}\\ & ={\omega }_3^m\sqrt[3]{4(26\mp 5\sqrt{13}-3i\sqrt{39})}+{\omega }_3^{-m}\sqrt[3]{4(26\mp 5\sqrt{13}+3i\sqrt{39})},\\ \end{array}$

где m пробегает {0, 1, 2}, а ${\omega }_n=\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}.$

Прочее

Использование для вычисления других констант

Например, объём правильного додекаэдра с длиной ребра $a$ может быть задан формулой:

$V=\frac{5a^3\cos 36^{\circ }}{{\tan }^{2}36^{\circ }}.$

Если использовать выражения

$\cos 36^{\circ }=\frac{\sqrt{5}+1}{4},$

$\tan 36^{\circ }=\sqrt{5-2\sqrt{5}},$

формулу можно упростить до

$V=\frac{a^3(15+7\sqrt{5})}{4}.$

Вывод через треугольники

Правильный n-угольник и его фундаментальный прямоугольный треугольник. Углы: a = Шаблон:Sfrac, b =90(1 − Шаблон:Sfrac)°

Вывод значений синуса, косинуса и тангенса в радикальную форму базируется на возможности построения при помощи циркуля и линейки правильных многоугольников.

Здесь прямоугольные треугольники, сделанные сечениями по осям симметрии правильных многоугольников, используются для вычисления фундаментальных тригонометрических соотношений. В каждом из прямоугольных треугольников вершинами являются:

• Центр многоугольника
• Вершина многоугольника
• Середина стороны, содержащей эту вершину

Правильный n-угольник можно разделить на 2n треугольников с углами Шаблон:Sfrac, 90 − Шаблон:Sfrac, 90 градусов для n, большего или равного 3. Возможность построения при помощи циркуля и линейки треугольника, квадрата, пяти- и пятнадцатиугольника — в базе, биссектрисы углов также позволяют быть выведенными многоугольники с числом сторон, равным степени двойки, умноженным на число сторон данного многоугольника.

• Можно построить при помощи циркуля и линейки
  • Правильные 3 × 2ⁿ-угольники, где n = 0, 1, 2, 3, …
    • 30°-60°-90°: Правильный треугольник
    • 60°-30°-90°: Правильный шестиугольник
    • 75°-15°-90°: Правильный двенадцатиугольник
    • 82,5°-7.5°-90°: Правильный двадцатичетырёхугольник
    • 86,25°-3.75°-90°: Правильный 48-угольник
    • 88,125°-1.875°-90°: Правильный 96-угольник
    • 89,0625°-0.9375°-90°: Правильный 192-угольник
    • 89,53125°-0.46875°-90°: Правильный 384-угольник
    • …
  • 4 × 2ⁿ-угольники
    • 45°-45°-90°: Квадрат
    • 67,5°-22.5°-90°: Правильный восьмиугольник
    • 78,75°-11.25°-90°: Правильный шестнадцатиугольник
    • 84,375°-5.625°-90°: Правильный 32-угольник
    • 87,1875°-2.8125°-90°: Правильный 64-угольник
    • 88,09375°-1.40625°-90°: Правильный 128-угольник
    • 89,046875°-0.703125°-90°: Правильный 256-угольник
    • …
  • 5 × 2ⁿ-угольники
    • 54°-36°-90°: Правильный пятиугольник
    • 72°-18°-90°: Правильный десятиугольник
    • 81°-9°-90°: Правильный двадцатиугольник
    • 85,5°-4.5°-90°: Правильный сорокаугольник
    • 87,75°-2.25°-90°: Правильный восьмидесятиугольник
    • 88,875°-1.125°-90°: Правильный 160-угольник
    • 89,4375°-0.5625°-90°: Правильный 320-угольник
    • …
  • 15 × 2ⁿ-угольники
    • 78°-12°-90°e: Правильный пятнадцатиугольник
    • 84°-6°-90°: Правильный тридцатиугольник
    • 87°-3°-90°: Правильный шестидесятиугольник
    • 88,5°-1.5°-90°: Правильный стодвадцатиугольник
    • 89,25°-0.75°-90°: Правильный 240-угольник
  • …

Есть и ещё правильные многоугольники, которые можно построить при помощи циркуля и линейки: 17, 51, 85, 255, 257, 353, 449, 641, 1409, 2547, …, 65535, 65537, 69481, 73697, …, 4294967295.)

• Нельзя построить при помощи циркуля и линейки (с полуградусными или целыми углами) — Для получаемых соотношений сторон треугольников нет конечных радикальных форм, включающих действительные числа, а значит, многоугольники с числом сторон, равным степени двойки, умноженным на число сторон данного многоугольника, не могут быть выведены.
  • 9 × 2ⁿ-угольники
    • 70°-20°-90°: Правильный девятиугольник
    • 80°-10°-90°: Правильный восемнадцатиугольник
    • 85°-5°-90°: Правильный 36-угольник
    • 87,5°-2.5°-90°: Правильный 72-угольник
    • …
  • 45 × 2ⁿ-угольники
    • 86°-4°-90°: Правильный сорокапятиугольник
    • 88°-2°-90°: Правильный девяностоугольник
    • 89°-1°-90°: Правильный 180-угольник
    • 89,5°-0.5°-90°: Правильный 360-угольник
    • …

Подсчитанные значения синуса и косинуса

Тривиальные величины

Синус и косинус 0, 30, 45, 60 и 90 градусов могут быть вычислены из соответственных прямоугольных треугольников по теореме Пифагора.

При использовании радианов, синус и косинус $\pi$ / 2ⁿ могут быть выражены в радикальной форме при помощи рекурсивного применения следующих формул:

$2\cos \theta =\sqrt{2+2\cos 2\theta }=\sqrt{2+\sqrt{2+2\cos 4\theta }}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+2\cos 8\theta }}}$; т.д.

$2\sin \theta =\sqrt{2-2\cos 2\theta }=\sqrt{2-\sqrt{2+2\cos 4\theta }}=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+2\cos 8\theta }}}$; т.д.

Например:

$\cos \frac{\pi }{2^1}=\frac{0}{2}$

$\cos \frac{\pi }{2^2}=\frac{\sqrt{2+0}}{2}$; $\sin \frac{\pi }{2^2}=\frac{\sqrt{2-0}}{2}$

$\cos \frac{\pi }{2^3}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$; $\sin \frac{\pi }{2^3}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$

$\cos \frac{\pi }{2^4}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}$; $\sin \frac{\pi }{2^4}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}$

$\cos \frac{\pi }{2^5}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2}$; $\sin \frac{\pi }{2^5}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2}$

$\cos \frac{\pi }{2^6}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}{2}$; $\sin \frac{\pi }{2^6}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}{2}$

и т. д.

Радикальная форма, синус и косинус Шаблон:Sfrac

$\cos \frac{2\pi }{3}=\frac{-1}{2}$

$\cos \frac{\pi }{3\times 2^0}=\frac{\sqrt{2-1}}{2}$; $\sin \frac{\pi }{3\times 2^0}=\frac{\sqrt{2+1}}{2}$

$\cos \frac{\pi }{3\times 2^1}=\frac{\sqrt{2+1}}{2}$; $\sin \frac{\pi }{3\times 2^1}=\frac{\sqrt{2-1}}{2}$

$\cos \frac{\pi }{3\times 2^2}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$; $\sin \frac{\pi }{3\times 2^2}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$

$\cos \frac{\pi }{3\times 2^3}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}{2}$; $\sin \frac{\pi }{3\times 2^3}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}}{2}$

$\cos \frac{\pi }{3\times 2^4}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}{2}$; $\sin \frac{\pi }{3\times 2^4}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}{2}$

$\cos \frac{\pi }{3\times 2^5}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}}{2}$; $\sin \frac{\pi }{3\times 2^5}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}}{2}$

и т. д.

Радикальная форма, синус и косинус Шаблон:Sfrac

$\cos \frac{2\pi }{5}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$

$\cos \frac{\pi }{5\times 2^0}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$ (Поэтому $2+2\cos \frac{\pi }{5}=2+\sqrt{1.25}+0.5$)

$\cos \frac{\pi }{5\times 2^1}=\frac{\sqrt{2.5+\sqrt{1.25}}}{2}$; $\sin \frac{\pi }{5\times 2^1}=\frac{\sqrt{1.5-\sqrt{1.25}}}{2}$

$\cos \frac{\pi }{5\times 2^2}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2.5+\sqrt{1.25}}}}{2}$; $\sin \frac{\pi }{5\times 2^2}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2.5+\sqrt{1.25}}}}{2}$

$\cos \frac{\pi }{5\times 2^3}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2.5+\sqrt{1.25}}}}}{2}$; $\sin \frac{\pi }{5\times 2^3}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2.5+\sqrt{1.25}}}}}{2}$

$\cos \frac{\pi }{5\times 2^4}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2.5+\sqrt{1.25}}}}}}{2}$; $\sin \frac{\pi }{5\times 2^4}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2.5+\sqrt{1.25}}}}}}{2}$

$\cos \frac{\pi }{5\times 2^5}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2.5+\sqrt{1.25}}}}}}}{2}$; $\sin \frac{\pi }{5\times 2^5}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2.5+\sqrt{1.25}}}}}}}{2}$

и т. д.

Радикальная форма, синус и косинус Шаблон:Sfrac

$\cos \frac{\pi }{15\times 2^0}=\frac{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875}+\sqrt{0.3125}-0.25}{2}$

$\cos \frac{\pi }{15\times 2^1}=\frac{\sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875}+\sqrt{0.3125}+1.75}}{2}$; $\sin \frac{\pi }{15\times 2^1}=\frac{\sqrt{2.25-\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875}-\sqrt{0.3125}}}{2}$

$\cos \frac{\pi }{15\times 2^2}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875}+\sqrt{0.3125}+1.75}}}{2}$; $\sin \frac{\pi }{15\times 2^2}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875}+\sqrt{0.3125}+1.75}}}{2}$

$\cos \frac{\pi }{15\times 2^3}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875}+\sqrt{0.3125}+1.75}}}}{2}$; $\sin \frac{\pi }{15\times 2^3}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875}+\sqrt{0.3125}+1.75}}}}{2}$

$\cos \frac{\pi }{15\times 2^4}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875}+\sqrt{0.3125}+1.75}}}}}{2}$; $\sin \frac{\pi }{15\times 2^4}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875}+\sqrt{0.3125}+1.75}}}}}{2}$

$\cos \frac{\pi }{15\times 2^5}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875}+\sqrt{0.3125}+1.75}}}}}}{2}$; $\sin \frac{\pi }{15\times 2^5}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875}+\sqrt{0.3125}+1.75}}}}}}{2}$

и т. д.

Радикальная форма, синус и косинус Шаблон:Sfrac

Если $M=2(17+\sqrt{17})$ и $N=2(17-\sqrt{17})$, то

$\cos \frac{\pi }{17}=\frac{\sqrt{M-4+2(\sqrt{N}+\sqrt{2(2M-N+\sqrt{17N}-\sqrt{N}-8\sqrt{M})})}}{8}.$

Затем, используя индукцию, получаем, что

$\cos \frac{\pi }{17\times 2^0}=\frac{\sqrt{30+2\sqrt{17}+\sqrt{136-8\sqrt{17}}+\sqrt{272+48\sqrt{17}+8\sqrt{34-2\sqrt{17}}\times (\sqrt{17}-1)-64\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}}{8};$

$\cos \frac{\pi }{17\times 2^{n+1}}=\frac{\sqrt{2+2\cos \frac{\pi }{17\times 2^n}}}{2}$; $\sin \frac{\pi }{17\times 2^{n+1}}=\frac{\sqrt{2-2\cos \frac{\pi }{17\times 2^n}}}{2}.$

Радикальная форма, синус и косинус Шаблон:Sfrac; Шаблон:Sfrac

Индукция, применённая выше, может быть применена точно так же к любым простым числам Ферма (F₃=2²³+1=2⁸+1=257; F₄=2²⁴+1=2¹⁶+1=65537), кратные $\pi$ чьи значения синуса и косинуса в радикальной форме существуют, но чересчур длинны, чтобы их здесь привести.

$\cos \frac{\pi }{257\times 2^{n+1}}=\frac{\sqrt{2+2\cos \frac{\pi }{257\times 2^n}}}{2}$; $\sin \frac{\pi }{257\times 2^{n+1}}=\frac{\sqrt{2-2\cos \frac{\pi }{257\times 2^n}}}{2};$

$\cos \frac{\pi }{65537\times 2^{n+1}}=\frac{\sqrt{2+2\cos \frac{\pi }{65537\times 2^n}}}{2}$; $\sin \frac{\pi }{65537\times 2^{n+1}}=\frac{\sqrt{2-2\cos \frac{\pi }{65537\times 2^n}}}{2}.$

Радикальная форма, синус и косинус Шаблон:Sfrac, Шаблон:Sfrac; Шаблон:Sfrac

D = 2³² — 1 = 4294967295 — самый большой известный на данный момент нечётный целый знаменатель, для которого радикальные формы sin($\pi$/D) и cos ($\pi$/D) известны. Используя радикальные формы величин из разделов выше, и применяя правило $\cos (a-b)=\cos a\times \cos b+\sin a\times \sin b$ по индукции, получаем -

$\cos \frac{\pi }{255\times 2^0}=\frac{\sqrt{2+2\cos (\frac{\pi }{15}-\frac{\pi }{17})}}{2}$; $\sin \frac{\pi }{255\times 2^0}=\frac{\sqrt{2-2\cos (\frac{\pi }{15}-\frac{\pi }{17})}}{2};$

$\cos \frac{\pi }{255\times 2^{n+1}}=\frac{\sqrt{2+2\cos \frac{\pi }{255\times 2^n}}}{2}$; $\sin \frac{\pi }{255\times 2^{n+1}}=\frac{\sqrt{2-2\cos \frac{\pi }{255\times 2^n}}}{2};$

Следовательно, используя радикальные формы величин из разделов выше, и применяя правило $\cos (a-b)=\cos a\times \cos b+\sin a\times \sin b$ по индукции, получаем -

$\cos \frac{\pi }{65535\times 2^0}=\frac{\sqrt{2+2\cos (\frac{\pi }{255}-\frac{\pi }{257})}}{2}$; $\sin \frac{\pi }{65535\times 2^0}=\frac{\sqrt{2-2\cos (\frac{\pi }{255}-\frac{\pi }{257})}}{2};$

$\cos \frac{\pi }{65535\times 2^{n+1}}=\frac{\sqrt{2+2\cos \frac{\pi }{65535\times 2^n}}}{2}$; $\sin \frac{\pi }{65535\times 2^{n+1}}=\frac{\sqrt{2-2\cos \frac{\pi }{65535\times 2^n}}}{2}.$

И наконец, используя радикальные формы величин из разделов выше, и применяя правило $\cos (a-b)=\cos a\times \cos b+\sin a\times \sin b$ по индукции, получаем -

$\cos \frac{\pi }{4294967295\times 2^0}=\frac{\sqrt{2+2\cos (\frac{\pi }{65535}-\frac{\pi }{65537})}}{2}$; $\sin \frac{\pi }{4294967295\times 2^0}=\frac{\sqrt{2-2\cos (\frac{\pi }{65535}-\frac{\pi }{65537})}}{2};$

$\cos \frac{\pi }{4294967295\times 2^{n+1}}=\frac{\sqrt{2+2\cos \frac{\pi }{4294967295\times 2^n}}}{2}$; $\sin \frac{\pi }{4294967295\times 2^{n+1}}=\frac{\sqrt{2-2\cos \frac{\pi }{4294967295\times 2^n}}}{2}.$

Радикальная форма раскрытия, приведённого выше, очень велика, следовательно, выражена проще (как выше).

n × Шаблон:Sfrac

Хорда(36°) = Шаблон:Sfrac = Шаблон:Sfrac, то есть, числу, обратному золотому сечению, из неравенства Птолемея

Геометрический метод

Применяя неравенство Птолемея ко вписанному четырёхугольнику ABCD, определённому четырьмя последовательными вершинами пятиугольника, находим, что:

$\mathrm{crd}36^{\circ }=\mathrm{crd}(\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{D}\mathrm{B})=\frac{a}{b}=\frac{2}{1+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

что равно обратному числу Шаблон:Sfrac по отношению к золотому сечению. crd — функция длины хорды,

$\mathrm{crd}\theta =2\sin \frac{\theta }{2}.$

А значит,

$\sin 18^{\circ }=\frac{1}{1+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}.$

(Также можно обойтись и без неравенства Птолемея. Обозначим за X пересечение AC и BD, и заметим, что треугольник AXB равнобедренный, а значит, AX = AB = a. Треугольники AXD и CXB подобны, так как AD параллельно BC. Значит, XC = a·(Шаблон:Sfrac). Но AX + XC = AC, а значит, a + Шаблон:Sfrac = b. Решив полученное, имеем, что Шаблон:Sfrac = Шаблон:Sfrac, как и получено ранее).

Точно так же

$\mathrm{crd}108^{\circ }=\mathrm{crd}(\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C})=\frac{b}{a}=\frac{1+\sqrt{5}}{2},$

а значит,

$\sin 54^{\circ }=\cos 36^{\circ }=\frac{1+\sqrt{5}}{4}.$

Алгебраический метод

Если θ равно 18° или −54°, то 2θ и 3θ сводятся к 5θ = 90° или −270°, значит, $\sin 2\theta =\cos 3\theta$.

$(2\sin \theta )\cos \theta =\sin 2\theta =\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta =(4{\cos }^2\theta -3)\cos \theta =(1-4{\sin }^2\theta )\cos \theta$

Далее, $4{\sin }^2\theta +2\sin \theta -1=0$, что значит $\sin \theta =\sin (18^{\circ },-54^{\circ })=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{4}.$

Следовательно,

$\sin (18^{\circ })=\cos (72^{\circ })=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$ и $\sin (54^{\circ })=\cos (36^{\circ })=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$ и

$\sin (36^{\circ })=\cos (54^{\circ })=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$ и $\sin (72^{\circ })=\cos (18^{\circ })=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}.$

Также формулы кратного угла для функций от 5x, где x ∈ {18, 36, 54, 72, 90} и 5x ∈ {90, 180, 270, 360, 450}, могут быть решены для функций от x, так как мы знаем значения функций от 5x. Далее следуют формулы кратного угла:

$\sin 5x=16{\sin }^{5}x-20{\sin }^{3}x+5\sin x,$

$\cos 5x=16{\cos }^{5}x-20{\cos }^{3}x+5\cos x.$

• Если sin 5x = 0 или cos 5x = 0, обозначим y = sin x или y = cos x и решим уравнение для y:

$16y^5-20y^3+5y=0.$

Один из корней равен 0, так что полученное уравнение четвёртой степени может быть решено как квадратное для y².

• Если же sin 5x = 1 или cos 5x = 1, опять-таки обозначим y = sin x или y = cos x и решим уравнение для y:

$16y^5-20y^3+5y-1=0,$

что мы рассматриваем как:

$(y-1){(4y^2+2y-1)}^2=0.$

n × Шаблон:Sfrac

9° = 45 − 36 и 27° = 45 − 18; так что можно использовать формулу разности для синуса и косинуса.

n × Шаблон:Sfrac

6° = 36 − 30, 12° = 30 − 18, 24° = 54 − 3, и 42° = 60 − 18; так что можно использовать формулу разности для синуса и косинуса.

n × Шаблон:Sfrac

3° = 18 − 15, 21° = 36 − 15, 33° = 18 + 15 и 39° = 54 − 15, так что можно использовать формулу разности (или суммы) для синуса и косинуса.

Способы упрощения выражений

Рационализация знаменателя

• Если знаменатель является корнем натуральной степени n > 1, числитель и знаменатель нужно умножить на этот радикал в степени n − 1: $\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
• В общем случае если знаменатель — алгебраическое число второй степени (комплексное число вида $q\pm \sqrt{r}$, где q и r рациональны), то числитель и знаменатель нужно умножить на сопряжённое ему число: $\frac{1}{1+\sqrt{3}}=\frac{1-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}=\frac{1-\sqrt{3}}{-2}.$
• В некоторых случаях знаменатель нужно рационализировать больше одного раза:
  • $\csc \frac{2\pi }{5}=\frac{4}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}=\frac{4\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{\sqrt{(10+2\sqrt{5})(10-2\sqrt{5})}}=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10(5-\sqrt{5})}}{5}.$
• А если знаменатель представляет собой алгебраическое число более чем второй степени, то лучше всего будет не умножать на сопряжённые числа (хотя это тоже имеет место), а найти минимальный многочлен этого алгебраического числа, выразить через него многочлен, одним из корней какого является число, обратное этому числу, и найти корни последнего.
  • Дано число $\sec \frac{2\pi }{7}=\frac{6}{-1+\sqrt[3]{\frac{7+21\sqrt{3}i}{2}}+\sqrt[3]{\frac{7-21\sqrt{3}i}{2}}}.$ Обратная к нему величина, умноженная на 2, является корнем многочлена $b^3+b^2-2b-1$ (это было показано выше). Тогда сам секанс, делённый на 2, — корень многочлена $(b^{-3}+b^{-2}-2b^{-1}-1)b^3$, и в итоге $\sec \frac{2\pi }{7}=\frac{2}{3}(-2+\sqrt[3]{\frac{-7+21\sqrt{3}i}{2}}+\sqrt[3]{\frac{-7-21\sqrt{3}i}{2}}).$

Превращение дроби в сумму (разность) двух (или более) дробей

Иногда помогает разбиение одной дроби на сумму нескольких и дальнейшее их упрощение по отдельности.

Возведение в квадрат и извлечение квадратного корня

Этот план может помочь, если выражение состоит из одного составного члена и в нём присутствует только один тип радикала. Возведите член в квадрат, сложите как члены и извлеките квадратный корень. Этот способ может оставить вложенные радикалы, но часто такое выражение проще первоначального.

Упрощение выражений с вложенными радикалами

Шаблон:Main В основном вложенные радикалы не упрощаются. Но если

$\sqrt{a\pm b\sqrt{c}}$

где a, b и c — рациональные числа, получаем, что

$R=\sqrt{a^2-b^{2}c}$

рационально, затем оба выражения

$d=\frac{a+R}{2}\text{ и }e=\frac{a-R}{2}$

рациональны; следовательно

$\sqrt{a\pm b\sqrt{c}}=\sqrt{d}\pm \sqrt{e}.$

Например,

$4\sin 18^{\circ }=\sqrt{6-2\sqrt{5}}=\sqrt{5}-1.$

$4\sin 15^{\circ }=2\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{2}(\sqrt{3}-1).$

См. также

• Многоугольник, который можно построить при помощи циркуля и линейки, для любого из них синус и косинус центрального и внутреннего угла имеет рациональное выражение в квадратных корнях
• Построение семнадцатиугольника, дающее точное выражение для cos Шаблон:Sfrac
• Тригонометрические тождества
• Шаблон:Нп5 для рациональных значений синуса от рационального кратного $\pi$
• Шаблон:Нп5
• Тригонометрические функции
• Тригонометрическое число, значение тригонометрической функции от рационального кратного $\pi$

Примечания

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld
  • $\pi$/3 (60°) — $\pi$/6 (30°) — $\pi$/12 (15°) — $\pi$/24 (7.5°)
  • $\pi$/4 (45°) — $\pi$/8 (22.5°) — $\pi$/16 (11.25°) — $\pi$/32 (5.625°)
  • $\pi$/5 (36°) — $\pi$/10 (18°) — $\pi$/20 (9°)
  • $\pi$/7 — $\pi$/14
  • $\pi$/9 (20°) — $\pi$/18 (10°)
  • $\pi$/11
  • $\pi$/13
  • $\pi$/15 (12°) — $\pi$/30 (6°)
  • $\pi$/17
  • $\pi$/19
  • $\pi$/23
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

Ссылки

• Конструируемые правильные многоугольники
• Синус и косинус в виде иррациональных чисел включает альтернативные выражения в некоторых случаях, также как и выражения для некоторых углов