Серебряное сечение

Иррациональные числа Шаблон:Вещественные константы
Система счисления	Оценка числа δs
Двоичная	10.0110101000001001111…
Десятичная	2.4142135623730950488…
Шестнадцатеричная	2.6A09E667F3BCC908B2F…
Непрерывная дробь	$2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\ddots }}}}$

Сере́бряное сече́ние — математическая константа, выражающая некоторое геометрическое соотношение, выделяемое эстетически. В отличие от золотого сечения, по аллюзии с которым оно названо, серебряное сечение не имеет единого определения. Наиболее последовательным является следующее:

1. Величины a и b находятся в «серебряном сечении», если отношение суммы b + 2a к a равняется отношению a к b:

$\frac{b+2a}{a}=\frac{a}{b}$, где a - большее число, b - меньшее число.

1. Серебряное сечение — иррациональное (но алгебраическое) число, равное $1+\sqrt{2}$ или приблизительно 2,4142135623. Для использования в процентном делении используется отношение, близкое к этому числу, — 70/29.

В последнее время некоторые художники и архитекторы считают это отношение «красивым». Возможно, они опираются на теорию Шаблон:Не переведено Шаблон:Нп1. Математики исследовали серебряное соотношение со времён древнегреческой науки (хотя такое название, возможно, появилось только недавно), так как оно связано с квадратным корнем из 2, его подходящими дробями, квадратными треугольными числами, числами Пелля, восьмиугольником и др.

Обозначим далее серебряное сечение через ${\delta }_S$ (общепринятого обозначения нет). Соотношение, описанное в определении выше, записывается алгебраически так:

$\frac{b+2a}{a}=\frac{a}{b}={\delta }_S.$

Это уравнение имеет единственный положительный корень. Шаблон:Сокрытие

Геометрическое доказательство того, что корень из двух — иррационален $\frac{AB}{BE}=\frac{AC}{FC}={\delta }_S$.

Формулы

• ${\delta }_S=1+\sqrt{2}\approx 2,414213562373095048801688724210$. Это следует из $({\delta }_S-1{)}^2=2.$

• ${\delta }_S=[2;2,2,2,\dots ]$ — в виде цепной дроби:

${\delta }_S=2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ddots }}}.$

подходящие дроби этой непрерывной дроби (2/1, 5/2, 12/5, 29/12, 70/29, …) являются отношениями последовательных чисел Пелля. Эти дроби дают хорошие рациональные аппроксимации серебряного сечения, аналогично тому, что золотое сечение приближается отношениями последовательных чисел Фибоначчи.

В виде бесконечных вложенных радикалов:

• ${\delta }_S=2\sqrt{\frac{1}{4}+\sqrt{\frac{1}{4}+\sqrt{\frac{1}{4}+...}}}$.
• ${\delta }_S=\sqrt{1+2\sqrt{1+2\sqrt{1+...}}}$.

Другие определения

Встречаются и другие определения серебряного сечения.

Например, отталкиваясь от определения золотого сечения через цепную дробь, серебряными называют любые цепные дроби, в которых знаменатели постоянны:

$[n;n,n,n,\dots ]$.

Литература

• Аракелян Г. Б. Числа и величины в современной физике. Ереван: Изд. АН, 1989, 300 с. — С. 90-95, 252.

Ссылки

• Explanation of Silver Means
• Шаблон:MathWorld
• Числа Пелля
• Пластическое число
• Золотое сечение
• Вера де Шпинадель (1999) The Family of Metallic Means, Vismath 1(3) from Mathematical Institute of Serbian Academy of Sciences and Arts