Квадратное треугольное число

В теории чисел квадратным треугольным числом (или треугольным квадратным числом) называется число, являющееся как треугольным, так и квадратным. Существует бесконечное число квадратных треугольных чисел.

Например, число 36 является и квадратным ($6\times 6$), и треугольным $\left(\frac{9\times 8}{2}\right)$:

Квадратные треугольные числа образуют последовательность:

0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, … (Шаблон:OEIS).

Формулы

Будем записывать N_k для k-го квадратного треугольного числа, s_k и t_k для сторон квадрата и треугольника соответственно, тогда

$N_k=s_k^2=\frac{t_k(t_k+1)}{2}.$

Последовательности N_k, s_k и t_k присутствуют в OEIS (Шаблон:OEIS2C, Шаблон:OEIS2C и Шаблон:OEIS2C соответственно).

В 1778 году Леонард Эйлер установил явную формулуШаблон:Rp

$N_k={\left(\frac{(3+2\sqrt{2}{)}^k-(3-2\sqrt{2}{)}^k}{4\sqrt{2}}\right)}^2.$

Другие эквивалентные формулы, которые могут быть выведены из этой формулы:

$\begin{array}{cc}{N}_k& =\frac{1}{32}{((1+\sqrt{2}{)}^{2k}-(1-\sqrt{2}{)}^{2k})}^2=\frac{1}{32}((1+\sqrt{2}{)}^{4k}-2+(1-\sqrt{2}{)}^{4k})\\ & =\frac{1}{32}((17+12\sqrt{2}{)}^k-2+(17-12\sqrt{2}{)}^k).\end{array}$

Соответствующие явные формулы для s_k и t_kШаблон:Rp:

$s_k=\frac{(3+2\sqrt{2}{)}^k-(3-2\sqrt{2}{)}^k}{4\sqrt{2}}$

и

$t_k=\frac{(3+2\sqrt{2}{)}^k+(3-2\sqrt{2}{)}^k-2}{4}.$

Уравнение Пелля

Связь квадратных треугольных чисел с уравнением Пелля можно получить следующим образом:

любое треугольное число имеет вид t(t + 1)/2, так что нужно найти t и s такие, что

$\frac{t(t+1)}{2}=s^2.$

Умножая левую и правую часть на 8 и выделяя полный квадрат, получим

$(2t+1{)}^2=8s^2+1,$

подставляя теперь x = 2t + 1 и y = 2s, мы получим диофантово уравнение

$x^2-2y^2=1,$

которое является уравнением Пелля. Решениями этого уравнения служат числа Пелля P_k

$x=P_{2k}+P_{2k-1},y=P_{2k};$

и потому все решения задаются формулами

$s_k=\frac{P_{2k}}{2},t_k=\frac{P_{2k}+P_{2k-1}-1}{2},N_k={\left(\frac{P_{2k}}{2}\right)}^2.$

Имеется множество тождеств, связанных с числами Пелля, а вышеприведённые формулы переводят их в тождества с квадратными треугольными числами.

Рекуррентные отношения

Имеются рекуррентные отношения для квадратных треугольных чисел, как и для сторон соответствующих квадратов и треугольников. Мы имеемШаблон:Rp

$N_k=34N_{k-1}-N_{k-2}+2,N_0=0,N_1=1.$

$N_k={(6\sqrt{N_{k-1}}-\sqrt{N_{k-2}})}^2,N_0=1,N_1=36.$

А такжеШаблон:Rp

$s_k=6s_{k-1}-s_{k-2},s_0=0,s_1=1;$

$t_k=6t_{k-1}-t_{k-2}+2,t_0=0,t_1=1.$

Другие свойства

Все квадратные треугольные числа имеют вид b²c², где b / c — значение подходящей дроби для непрерывной дроби квадратного корня из 2.

А. В. Сильвестер (A. V. Sylwester) дал короткое доказательство бесконечности количества квадратных треугольных чисел, а именно:

Если треугольное число n(n+1)/2 является квадратом, то существует большее треугольное число:

$\frac{(4n(n+1))(4n(n+1)+1)}{2}=2^2\frac{n(n+1)}{2}(2n+1{)}^2.$

И это значение должно быть квадратом, поскольку является произведением трёх квадратов: $2^2$ (очевидно), $(n(n+1))/2$ (n-ое треугольное число — по предположению является квадратом) и $(2n+1{)}^2$ (очевидно).

Производящей функцией для квадратных треугольных чисел будет:

$\frac{1+z}{(1-z)(z^2-34z+1)}=1+36z+1225z^2+\cdots .$

Численные значения

С увеличением k, отношение t_k / s_k стремится к $\sqrt{2}\approx 1.41421$, а отношение соседних квадратных треугольных чисел стремится к $17+12\sqrt{2}\approx 33.97056$.

$\begin{array}{cccccc}k& N_k& s_k& t_k& t_k/s_k& N_k/N_{k-1}\\ 0& 0& 0& 0& & \\ 1& 1& 1& 1& 1& \\ 2& 36& 6& 8& 1.33333& 36\\ 3& 1225& 35& 49& 1.4& 34.02778\\ 4& 41616& 204& 288& 1.41176& 33.97224\\ 5& 1413721& 1189& 1681& 1.41379& 33.97061\\ 6& 48024900& 6930& 9800& 1.41414& 33.97056\\ 7& 1631432881& 40391& 57121& 1.41420& 33.97056\end{array}$

Ссылки

• Triangular numbers that are also square Шаблон:Wayback at cut-the-knot
• Шаблон:MathWorld
• Michael Dummett’s solution Шаблон:Wayback