Квадратный корень из 2

Иррациональные числа Шаблон:Вещественные константы
Система счисления	Оценка числа Шаблон:Sqrt
Десятичная	1,4142135623730950488…
Двоичная	1,0110101000001001111…
Шестнадцатеричная	1,6A09E667F3BCC908B2F…
Шестидесятеричная	1; 24 51 10 07 46 06 04 44 50 …
Рациональные приближения	3/2; 7/5; 17/12; 41/29; 99/70; 239/169; 577/408; 1393/985; 3363/2378; 8119/5741; 19601/13860; 665857/470832 (перечислено в порядке увеличения точности)
Непрерывная дробь	$1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ddots }}}}$

Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике с длиной катетов 1.

Квадратный корень из числа 2 — положительное вещественное число, которое при умножении само на себя даёт Шаблон:Num1. Обозначение: $\sqrt{2}.$

Геометрически корень из 2 можно представить как длину диагонали квадрата со стороной 1 (это следует из теоремы Пифагора). Вероятно, это было первое известное в истории математики иррациональное число (то есть число, которое нельзя точно представить в виде дроби).

Квадратный корень из 2.

Хорошим и часто используемым приближением к $\sqrt{2}$ является дробь $\frac{99}{70}$. Несмотря на то, что числитель и знаменатель дроби лишь двузначные целые, оно отличается от реального значения меньше, чем на 1/10000.

История

Вавилонская глиняная табличка с максимально точным указанием длины диагонали единичного квадрата четырёхзначным шестидесятеричным числом.

Вавилонская глиняная табличка (ок. 1800—1600 до н. э.) даёт наиболее точное приближённое значение $\sqrt{2}$ при записи в четырёх шестидесятеричных цифрах, что после округления составляет 6 точных десятичных цифр:

$1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{10}{60^3}=1.41421(296).$

Другое раннее приближение этого числа в древнеиндийском математическом тексте, называемом «Шульба-сутры» (ок. 800—200 до н. э.) даётся следующим образом:

$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\cdot 4}-\frac{1}{3\cdot 4\cdot 34}=\frac{577}{408}\approx 1.414215686.$

Пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является иррациональным числом. Мало что известно с определённостью о времени и обстоятельствах этого выдающегося открытия, но традиционно его авторство приписывается Гиппасу из Метапонта, которого за это открытие, по разным вариантам легенды, пифагорейцы не то убили, не то изгнали, поставив ему в вину разрушение главной пифагорейской доктрины о том, что «всё есть [натуральное] число». Поэтому квадратный корень из 2 иногда называют постоянной Пифагора, так как именно пифагорейцы доказали его иррациональность, тем самым открыв существование иррациональных чисел. Однако историки сомневаются в достоверности этих событий, и вообще в том, что несоизмеримые величины были открыты в 5 веке до н. э.

Алгоритмы вычисления

Существует множество алгоритмов для приближения значения квадратного корня из двух обыкновенными или десятичными дробями. Самый популярный алгоритм для этого, который используется во многих компьютерах и калькуляторах, это вавилонский метод вычисления квадратных корней (частный случай метода Ньютона). Он состоит в следующем:

$a_{n+1}=\frac{a_n+\frac{2}{a_n}}{2}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}.$

Чем больше повторений в алгоритме (то есть, чем больше $n$), тем лучше приближение квадратного корня из двух. Каждое повторение приблизительно удваивает количество правильных цифр. Несколько первых приближений, начиная с $a_0=1$:

• $\frac{3}{2}=1,5$
• $\frac{17}{12}=1,416\dots$
• $\frac{577}{408}=1,414215\dots$
• $\frac{665857}{470832}=1,4142135623746\dots$

В 1997 году Ясумаса Канада вычислил значение $\sqrt{2}$ до 137 438 953 444 десятичных знаков после запятой. В феврале 2007 года рекорд был побит: Сигэру Кондо вычислил 200 миллиардов десятичных знаков после запятой в течение 13 дней и 14 часов, используя процессор с частотой 3,6 ГГц и 16 ГБ ОЗУ.

Мнемоническое правило

Для запоминания значения корня из двойки с восемью знаками после запятой (1,41421356) можно воспользоваться следующим текстом (число букв в каждом слове соответствует десятичной цифре): «И плод у меня, но у них много корней».

Свойства квадратного корня из двух

Половина $\sqrt{2}$ приблизительно равна 0,70710 67811 86548; эта величина даёт в геометрии и тригонометрии координаты единичного вектора, образующего угол 45° с координатными осями:

$\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos 45^{\circ }=\sin 45^{\circ }.$

Одно из интересных свойств $\sqrt{2}$ состоит в следующем:

$\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1$. Потому что $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=2-1=1.$

Это является результатом свойства серебряного сечения.

Другое интересное свойство $\sqrt{2}$:

$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots }}}=2.$

Квадратный корень из двух может быть выражен в мнимых единицах i, используя только квадратные корни и арифметические операции:

$\frac{\sqrt{i}+i\sqrt{i}}{i}$ и $\frac{\sqrt{-i}-i\sqrt{-i}}{-i}.$

Квадратный корень из 2 является единственным числом, отличным от 1, чья бесконечная тетрация равна его квадрату.

${\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}}}}=2$

Квадратный корень из двух может быть также использован для приближения $\pi$:

$2^m\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots +\sqrt{2}}}}\to \pi$ при условии, что $2$ встречается под корнем $m$ раз, и $m\to \mathrm{\infty }.$

С точки зрения высшей алгебры, $\sqrt{2}$ является корнем многочлена $x^2-2$ и поэтому является целым алгебраическим числом. Множество чисел вида $a+b\sqrt{2}$, где $a,b$ — рациональные числа, образует алгебраическое поле. Оно обозначается $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ и является подполем поля вещественных чисел.

Доказательство иррациональности

Доказательство через разложение на множители

Применим доказательство от противного: допустим, $\sqrt{2}$ рационален, то есть представляется в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное.

Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

$\sqrt{2}=\frac{m}{n}\Rightarrow 2=\frac{m^2}{n^2}\Rightarrow m^2=2n^2$.

Так как разложение $m^2$ на простые множители содержит $2$ в чётной степени, а $2n^2$ — в нечётной, равенство $m^2=2n^2$ невозможно. Значит, исходное предположение было неверным, и $\sqrt{2}$ — иррациональное число.

Непрерывная дробь

Квадратный корень из двух может быть представлен в виде непрерывной дроби:

$\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ddots }}}}.$

Подходящие дроби данной непрерывной дроби дают приближённые значения, быстро сходящиеся к точному квадратному корню из двух. Способ их вычисления прост: если обозначить предыдущую подходящую дробь $\frac{m}{n}$, то последующая имеет вид $\frac{m+2n}{m+n}$. Скорость сходимости здесь меньше, чем у вавилонского метода, но вычисления гораздо проще. Выпишем несколько первых приближений:

$\frac{3}{2};\frac{7}{5};\frac{17}{12};\frac{41}{29};\frac{99}{70};\frac{239}{169};\frac{577}{408};\frac{1393}{985};\frac{3363}{2378}\dots$

Квадрат последней приведенной дроби равен (округлённо) 2,000000177.

Практическое применение

Размер бумаги

$\sqrt{2}$ используется в соотношении сторон листа бумаги формата ISO 216 серий A и B, а также серии C по ISO 217. Соотношение сторон равно $1:\sqrt{2}$. При разрезании листа пополам параллельно его короткой стороне получатся два листа той же пропорции. Это позволяет нумеровать форматы бумаги одним числом по убыванию площади листа (числу разрезов): А0, А1, А2, А3, А4,… и B0, B1, B2, B3...

Аналогичным способом (делением листа пополам) рациональное приближение к корню из двух (7/5) используется в форматах фотобумаги: 2R (2,5×3,5 дюйма), 3R (3,5×5 дюймов), 5R (5×7").

См. также

• Иррациональные числа
• Теорема Виета

Литература

• Шаблон:Книга

Ссылки

• Pythagoras’s Constant Шаблон:WaybackШаблон:Ref-en.