Доказательство от противного

Доказательство «от противного» (Шаблон:Lang-lat), или апагогическое косвенное доказательство, — вид доказательства, при котором «доказывание» некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение отрицания этого суждения — антитезиса. Этот способ доказательства основывается на истинности закона двойного отрицания в классической логике.

Этот способ очень важен для математики, где существует много суждений, которые не могут быть доказаны по-другому.

Схема доказательства

Доказательство утверждения $A$ проводится следующим образом. Сначала принимают предположение, что утверждение $A$ неверно, а затем доказывают, что при таком предположении было бы верно некоторое утверждение $B$, которое заведомо неверно.

Из определения импликации следует, что, если $B$ ложно, то формула $\mathrm{\neg }A\Rightarrow B$ истинна тогда и только тогда, когда $\mathrm{\neg }A$ ложно, следовательно утверждение $A$ истинно.

Полученное противоречие показывает, что исходное предположение было неверным, и поэтому верно утверждение $\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }A$, которое по закону двойного отрицания равносильно утверждению $A$.

В интуиционистской логике доказательство от противного не принимается, так же как не действует закон исключённого третьего.

Примеры

В математике

Доказательство иррациональности числа $\sqrt{2}$.

Допустим противное: число $\sqrt{2}$ рационально, то есть представляется в виде несократимой дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

$\sqrt{2}=\frac{m}{n}$ $\Rightarrow$ $2=\frac{m^2}{n^2}$, откуда $m^2=2n^2$.

Отсюда следует, что $m^2$ чётно, значит, чётно и $m$; следовательно, $m^2$ делится на 4, а значит, $n^2$ и $n$ тоже чётны. Полученное утверждение противоречит несократимости дроби $\frac{m}{n}$. Значит, исходное предположение было неверным, и $\sqrt{2}$ — иррациональное число.

В повседневной жизни

Врач, разъясняя пациенту что тот не болен гриппом, может использовать такие рассуждения: «Если бы вы действительно были больны гриппом, то у вас была бы повышена температура, был заложен нос и т. д. Но всё это у вас отсутствует, значит, нет и гриппа».

См. также

• Приведение к абсурду (апагогия)
• Метод бесконечного спуска